Question

 15  У кре­стья­ни­на было ку­ку­руз­ное пря­мо­уголь­ное поле. Его диа­го­наль равна 100 мет­ров. И всё у этого кре­стья­ни­на было хо­ро­шо, пока не на­сту­пил кри­зис и го­су­дар­ство не при­шло на­ци­о­на­ли­зи­ро­вать это поле. К его сча­стью, вла­сти по­тре­бо­ва­ли лишь часть: «Умень­ши одну сто­ро­ну сво­е­го пря­мо­уголь­но­го поля на 50 м, а дру­гую — на 62 м. Остав­ша­я­ся часть твоя.» После подсчётов, у кре­стья­ни­на по­лу­чи­лось, что пе­ри­метр поля умень­шил­ся в 5 раза. Най­ди­те диа­го­наль но­во­го поля.​

Answer 1

Ответ:

20,6 м

Объяснение:

Объяснение

х - старая длина поля

у - старая ширина поля

Согласно условию задачи составляем первое уравнение системы (по теореме Пифагора) :

х² + у² = 10 000 (сумма квадратов катетов = квадрату гипотенузы)

х - 62  - новая длина поля

у - 50  - новая ширина поля

2х + 2у - старый периметр поля

2(х - 62) + 2(у - 50) новый периметр поля

Согласно условию задачи, новый периметр меньше старого в 5 раз, составляем второе уравнение системы:

2(х - 62) + 2(у - 50) = (2х + 2у) / 5

Умножим обе части уравнения на 5, чтобы избавиться от дробного выражения, получим:

5(2х -224 + 2у) = 2х + 2у

10х + 10у -2х -2у = 1120

8х + 8у = 1120, сократим на 8:

х + у = 140, выразим х через у:

х = 140 -у  и подставим значение х в первое уравнение:

(140 - у)² + у² = 10000, раскрываем скобки, квадрат разности:

19600 - 280у + у² + у² = 10000

2у² -280у + 9600 = 0, сократим на 2:

у² - 140у + 4800 = 0

Получили квадратное уравнение, ищем корни:

у первое, второе = (140 плюс минус √19600-19200) / 2

у первое, второе = (140 плюс минус √400) / 2

у первое, второе = (140 плюс минус  20) / 2

у первое = 60 (ширина), тогда х первое( длина) = 140 - 60 = 80

у второе = 90 (ширина), тогда х первое( длина) = 140 - 90 = 50

Вторую пару х и у отбрасываем, т.к длина не может быть меньше ширины.

Итак, новая длина поля 80 - 62 = 18 (м)

         новая ширина поля 60 - 50 = 10 (м)

Ищем диагональ нового поля: √18² + 10² = √424 ≅ 20,6

Проверка

Старый периметр: 2*80 + 2*60 = 280 (м)

Новый периметр: 2*18 + 2*10 = 56 (м)

280 : 56 = 5 (раз), соответствует условию задачи.

Answer 2

Давайте обозначим исходные размеры поля:

Пусть длина поля равна $x$ метров, а ширина равна $y$ метров.

Из условия мы знаем, что диагональ равна 100 метров:

x^2 + y^2 = 100^2 \tag{1}

Также нам говорят, что крестьянин уменьшил длину на 50 метров и ширину на 62 метра, то есть:

Согласно условию, площадь и периметр нового поля уменьшились в 5 раз: \[S' = \frac{1}{5} \cdot xy\] \[P' = \frac{1}{5} \cdot 2(x + y)\] Теперь у нас есть два уравнения и две неизвестные. Давайте сначала выразим \(x\) через \(y\) из уравнения (1): \[x = \sqrt{100^2 - y^2}\] Теперь подставим это выражение в уравнения для \(S'\) и \(P'\): \[\frac{1}{5} \cdot \sqrt{100^2 - y^2} \cdot y = \frac{1}{5} \cdot xy\] \[\frac{1}{5} \cdot 2\left(\sqrt{100^2 - y^2} + y\right) = \frac{1}{5} \cdot 2(x + y)\] Упростим уравнения: \[\sqrt{100^2 - y^2} \cdot y = xy\] \[\sqrt{100^2 - y^2} + y = x + y\] Теперь выразим \(x\) через \(y\) во втором уравнении: \[\sqrt{100^2 - y^2} = x\] \[x = 100 - y\] Теперь мы можем подставить это во второе уравнение: \[100 - y + y = 100\] Таким образом, у нас получается: \[x = 100 - y\] \[y = 50\] Теперь найдем \(x\): \[x = 100 - 50 = 50\] Таким образом, новые размеры поля \(50 \times 50\) метров. Найдем диагональ нового поля: \[d' = \sqrt{50^2 + 50^2} = \sqrt{5000} \approx 70.71 \text{ метра}\] Диагональ нового поля составляет примерно 70.71 метра.