Question

На продолжении биссектрисы CL треугольника ABC за точку L взята точка M, так что LM = AC, CM = BC. Докажите, что BM меньше периметра треугольника ACL.

Answer 1

Решение : ///////////////////////////////////

Answer 2

Для доказательства этого утверждения давайте рассмотрим треугольники ACL и CMB.

По условию задачи, точка M находится на продолжении биссектрисы CL треугольника ABC так, что LM = AC и CM = BC.

Теперь, давайте рассмотрим треугольник ACL:

AC = AL + LC LC - это отрезок биссектрисы, а AL = LM (по условию) = AC. Таким образом, AC = AC + LC.

Теперь, рассмотрим треугольник CMB:

BC = BM + MC MC = CM - LM = BC - AC

Теперь мы видим, что MC = BC - AC.

Теперь давайте сравним периметры треугольников ACL и CMB:

Периметр треугольника ACL = AC + AL + LC = AC + AC + LC = 2AC + LC

Периметр треугольника CMB = BC + BM + MC = BC + BM + (BC - AC) = 2BC - AC + BM

Теперь, чтобы доказать, что BM < 2AC + LC, давайте сравним эти два выражения:

2BC - AC + BM < 2AC + LC

Теперь выразим BM:

BM < 2AC + LC - 2BC + AC BM < AC - BC + LC

Мы видим, что AC - BC + LC равно разности длин отрезков AL и LC. Однако так как AL является отрезком биссектрисы, то AL > LC.

Таким образом, BM < AC - BC + LC < AL, что означает, что длина отрезка BM меньше длины отрезка AL. Следовательно, BM меньше периметра треугольника ACL.