Question

В тетраэдре ABCD точки М и N - середины ребер АВ и CD соответственно. На продолжении отрезка СМ за точку М взята точка Р так, что МР=СМ. На продолжении отрезка BN за точку N взята точка Q так, что NQ=NB. Доказать, что точки Р, Q и середина R ребра AD лежат на одной прямой, и найти, в каком отношении точка R делит отрезок PQ.

Answer 1

  Из того что  $CM=MP$  и $AM=BM$  четырехугольник       $PABC$ параллелограмм  ,  откуда
$AP || BC \\ AC || PB \\ \\ AP= BC \\ AC = PB$
по свойству параллелограмма , аналогично  $BDQC$ так же параллелограмм , откуда
 $DQ || BC \\ CQ || =BD \\ \\ DQ = BC \\ CQ = BD$ 
  
 Значит  $AP || DQ \ \\ AP=DQ$ , то есть           $PADQ$ так же параллелограмм , значит  $r \in pq$ и $R$ - является точкой пересечения диагоналей   , $PR=RQ$ .