Question

Угол, образованный биссектриса и углов AOB и AOC, изображенных на рисунке 64, равен 25°, а уголAOB=40°. Докажите, что AO перпендикулярен OC​

Answer 1

Ответ:

Пусть OM биссектриса ∠AOB, а ON биссектриса ∠AOC. Тогда ∠MON = 25°.

∠MOB = ∠AOB:2 = 40°:2 = 20°, как угол при биссектрисе.

∠MON = ∠MOB+∠BON = 20°+∠BON = 25°

∠BON = 25°-20° = 5°

∠AON = ∠AOB+∠BON = 40°+5° = 45°

∠AOC = 2·∠AON = 2·45° = 90° т.к. биссектриса делит угол пополам.

∠(OA;OC) = ∠AOC = 90°  ⇒  OA⊥OC

Объяснение:

Answer 2

Для доказательства того, что отрезок AO перпендикулярен отрезку OC, мы можем использовать информацию о биссектрисе и углах AOB и AOC, а также некоторые свойства треугольника.

Свойство биссектрисы угла

Биссектриса угла делит его на два равных угла. В данном случае, биссектриса угла AOC делит его на два угла, каждый из которых равен 25°.

Сумма углов треугольника

Сумма углов треугольника равна 180°. В данном случае, угол AOB равен 40°, а сумма углов AOB и AOC равна 40° + 25° = 65°.

Доказательство

Если мы докажем, что угол между отрезками AO и OC равен 90°, то это будет означать, что отрезок AO перпендикулярен отрезку OC.

Допустим, что угол между отрезками AO и OC не равен 90°. Пусть этот угол равен α. Тогда угол между отрезками AO и OB будет равен α + 40°, так как угол AOB равен 40°.

Сумма углов треугольника AOB равна 180°, поэтому угол между отрезками OB и AO равен 180° - (α + 40°) = 140° - α.

Сумма углов треугольника AOC равна 180°, поэтому угол между отрезками OC и AO равен 180° - 25° = 155°.

Но мы знаем, что сумма углов треугольника AOB равна 65°, поэтому угол между отрезками OB и AO равен 65° - (140° - α) = α - 75°.

Следовательно, угол между отрезками AO и OC должен быть равен углу между отрезками OB и AO, то есть α - 75°.

Но мы также знаем, что угол между отрезками AO и OC равен 25°.

Таким образом, у нас получается уравнение: α - 75° = 25°.

Решая это уравнение, мы получаем α = 100°.

Но это противоречит предположению, что угол между отрезками AO и OC не равен 90°.

Следовательно, мы приходим к выводу, что отрезок AO перпендикулярен отрезку OC.