Question

Из вершины тупого угла B ромба ABCD опущены высоты BH и BK на стороны AD и CD соответственно. Диагональ AC пересекает высоту BH в точке P и высоту BK в точке Q. Найдите длину отрезка HK, если известно, что AP =p и PQ= q .

Answer 1

Ромб симметричен относительно диагоналей.

Точки H-K и P-Q симметричны относительно BD по построению.

HK||AC, HT=TK, PO=OQ

т Менелая

DH/HA *AP/PO *OB/BD =1 => DH/HA *p/(q/2) *1/2 =1 => DH/HA =q/p

△HDT~△ADO

HT/AO=HD/AD => HT/(p +q/2) =q/(p+q) => HT = q(2p+q)/2(p+q)

HK =2HT =q(2p+q)/(p+q) =q(1 +p/(p+q))

Answer 2

Давайте рассмотрим ромб ABCD и высоты BH и BK. Поскольку это ромб, углы A и C равны 90 градусам, и каждая из его сторон делится пополам высотой, опущенной из вершины тупого угла B.

Обозначим длины сторон ромба следующим образом: AB = a, BC = b, AC = c.

Также пусть AP = p и PQ = q.

Так как у нас есть ромб, диагонали AC и BD пересекаются в его центре и делят друг друга пополам. Поэтому отметим точку пересечения диагоналей как O, и мы знаем, что AO = OC = c/2.

Теперь рассмотрим треугольник BPH. Этот треугольник подобен треугольнику BAC, так как углы BPH и BAC оба прямые, и угол B равен общему углу.

Используем подобие треугольников для нахождения отношения длин сторон: \[\frac{BP}{BA} = \frac{BH}{BC}.\]

Так как BH = BC/2 (в ромбе), заменяем значения: \[\frac{BP}{a} = \frac{BC/2}{b}.\]

Теперь можем выразить BP через a и b: \[BP = \frac{a}{2b} \cdot BC.\]

Так как BC = b, получаем: \[BP = \frac{a}{2}.\]

Теперь рассмотрим треугольник APQ. Этот треугольник также подобен треугольнику BAC, так как углы APQ и BAC оба прямые, и угол A общий.

Используем подобие треугольников для нахождения отношения длин сторон: \[\frac{PQ}{AC} = \frac{AP}{AB}.\]

Подставим известные значения: \[\frac{q}{c} = \frac{p}{a}.\]

Теперь можем выразить PQ через p и q: \[PQ = \frac{qc}{p}.\]

Теперь обратим внимание на треугольники BHK и BAC. Они подобны, так как углы BHK и BAC оба прямые, и угол B общий.

Используем подобие треугольников для нахождения отношения длин сторон: \[\frac{HK}{AC} = \frac{BK}{BA}.\]

Подставим известные значения: \[\frac{HK}{c} = \frac{BK}{a}.\]

Теперь мы должны выразить BK через известные значения. Мы знаем, что BK = BP + PQ. Подставим значения: \[BK = \frac{a}{2} + \frac{qc}{p}.\]

Теперь мы можем вернуться к уравнению для отношения длин сторон треугольников BHK и BAC: \[\frac{HK}{c} = \frac{BK}{a}.\]

Подставим известные значения: \[\frac{HK}{c} = \frac{\frac{a}{2} + \frac{qc}{p}}{a}.\]

Решим это уравнение относительно HK: \[HK = \frac{c}{2} + \frac{q}{2p}.\]

Таким образом, длина отрезка HK равна \(\frac{c}{2} + \frac{q}{2p}\).