Question

В прямоугольнике ABCD известно, что сторона АВ в два раза меньше стороны AD. На стороне ВС выбрана точка Q так, что AQ = BC . Чему равен угол DQC? Дайте ответ в градусах.​

Answer 1

Противоположные стороны прямоугольника равны.

AD=BC=AQ

Катет против угла 30 равен половине гипотенузы.

△ABQ: AB/AQ =AB/BC =1/2 => ∠BQA=30

∠AQD=∠ADQ (△DAQ - р/б)

∠CQD=∠ADQ (накрест лежащие при BC||AD)

=> ∠CQD=∠AQD

∠AQC =180-∠BQA =180-30 =150

∠CQD =∠AQC/2 =150/2 =75°

Answer 2

Для решения этой задачи давайте обозначим длину стороны AD через \(a\). Тогда сторона AB будет равна \(\frac{a}{2}\), так как по условию она в два раза меньше стороны AD.

Также, по условию задачи, \(AQ = BC\). Обозначим длину стороны BC через \(b\). Таким образом, \(AQ = b\).

Теперь у нас есть значения сторон AB, AD и AQ. Рассмотрим треугольник ADQ. Известно, что сторона AD равна \(a\), сторона AQ равна \(b\), и сторона AB равна \(\frac{a}{2}\).

Теперь мы можем использовать косинусное правило для нахождения угла DQC:

\[ \cos(DQC) = \frac{b^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 - a^2}{2 \cdot b \cdot \frac{a}{2}} \]

Упростим выражение:

\[ \cos(DQC) = \frac{b^2 + \frac{a^2}{4} - a^2}{a \cdot b} \]

\[ \cos(DQC) = \frac{b^2 - \frac{3a^2}{4}}{a \cdot b} \]

Теперь, чтобы найти угол DQC, мы можем воспользоваться обратным косинусом:

\[ DQC = \arccos\left(\frac{b^2 - \frac{3a^2}{4}}{a \cdot b}\right) \]

Это выражение даст вам значение угла DQC в радианах. Если вы хотите узнать значение в градусах, умножьте результат на \(\frac{180}{\pi}\).

Обратите внимание, что для получения конкретного численного ответа, нужны конкретные числовые значения \(a\) и \(b\).

Answer 3

Давайте обозначим длину стороны AB через \( x \), тогда сторона AD будет равна \( 2x \), так как AB в два раза меньше AD. Также, пусть длина стороны BC будет равна \( y \). Согласно условию, точка Q выбрана на стороне BC так, что \( AQ = BC \).

Теперь у нас есть следующие длины: - \( AB = x \) - \( AD = 2x \) - \( BC = y \) - \( AQ = y \)

Мы знаем, что в прямоугольнике углы противоположных сторон дополняют друг друга до 180 градусов. Таким образом, угол B равен углу ADC, и угол C равен углу DAB.

Теперь обратим внимание на треугольник DQC. У нас есть стороны DQ и QC, а также угол DQC, который нас интересует.

Мы можем воспользоваться теоремой косинусов, чтобы найти косинус угла DQC: \[ \cos(\angle DQC) = \frac{{DQ^2 + QC^2 - DC^2}}{{2 \cdot DQ \cdot QC}} \]

Так как \( DQ = AQ = y \) и \( QC = BC = y \), мы можем подставить значения: \[ \cos(\angle DQC) = \frac{{y^2 + y^2 - (2x)^2}}{{2 \cdot y \cdot y}} \]

Упрощаем выражение: \[ \cos(\angle DQC) = \frac{{2y^2 - 4x^2}}{{2y^2}} \]

\[ \cos(\angle DQC) = 1 - \frac{{4x^2}}{{2y^2}} \]

\[ \cos(\angle DQC) = 1 - \frac{{2x^2}}{{y^2}} \]

Теперь мы можем использовать обратную функцию косинуса, чтобы найти угол DQC: \[ \angle DQC = \cos^{-1}\left(1 - \frac{{2x^2}}{{y^2}}\right) \]

Таким образом, угол DQC равен арккосинусу от \(1 - \frac{{2x^2}}{{y^2}}\). Важно отметить, что для полного ответа нужны значения \(x\) и \(y\).