Question

100 баллов помогите прошууу Вершины четырёхугольника имеют координаты P (−4; −4), R (−5; −2), S (−1; 0), T (0; −2). 1. Докажите, что данный четырёхугольник является прямоугольником (15 баллов). 2. Найдите косинус угла между его диагоналями (15 баллов). 3. Найдите площадь прямоугольника (10 баллов).

Answer 1

1)Докажем,что данный четырёхугольник является прямоугольником.

1)ST=(0+1;-2-0)=(1;-2)

2)RP=(-4+5;-4+2)=(1;-2)

3)PS=(-1+5;0+2)=(4;2)

4)PT=(0+4;-2+4)=(4;2)

Координаты векторов равны,следовательно будут равны и их длины.

Теперь докажем,что углы данного четырёхугольника равны по 90 градусов.Ведь прямоугольник это такой четырехугольник,у которого все углы по 90 градусов.

1)PS*ST=(4*1)+(2*(-2))=4-4=0

2)PT*ST=(4*1)+(2*(-2))=4-4=0 =>

Углы STP u TSP= 90 градусов.

Значит и противоположные углы равно по 90 градусов.Данный четырёхугольник — прямоугольник.

2)RT=PS как диагонали прямоугольника.Найдем их длины:

|RT|= V(0+5)^2 + (-2+2)^2

|RT| =V25

|RT|= 5

|PS|= 5

Вычислим и координаты:

PS= (-1+4;0+4)=(3;4)

TR=(-5-0;-2+2)=(-5;0)

Вычислим косинус по формуле:

сos a = (a(вектор) * b(вектор))/ |а| * |b| = cos a = PS*TR / |PS|*|TR| = 3*(-5)+4*0 / 5*5 = — 3/5 = —0,6.

3)S= |PR|* |PT|

|PR| = V(-5+4)^2 + (-2+4)^2 = V5

|PT| = V(0+4)^2 + (-2+4)^2 = V20

S= V5*V20= V100 = 10

Для справки:

Не забудьте поставить векторы(стрелки) над буквенными выражениями.

V — это обозначение корня.

^2 — это обозначение степени 2.

/ — это палочка,обозначающая дробное выражение.

Answer 2

1. Для доказательства того, что данный четырёхугольник является прямоугольником, нужно проверить, являются ли его стороны параллельными и перпендикулярными.

Для этого можно использовать свойство прямоугольника, согласно которому диагонали прямоугольника равны и пересекаются в точке пополам.

Для начала найдем длины сторон данного четырёхугольника:

Сторона PR: PR = √[(-5 - (-4))^2 + (-2 - (-4))^2] PR = √[(-1)^2 + 2^2] PR = √[1 + 4] PR = √5

Сторона RS: RS = √[(-1 - (-5))^2 + (0 - (-2))^2] RS = √[4^2 + 2^2] RS = √[16 + 4] RS = √20 RS = 2√5

Сторона ST: ST = √[(0 - (-1))^2 + (-2 - 0)^2] ST = √[1^2 + (-2)^2] ST = √[1 + 4] ST = √5

Сторона TP: TP = √[(0 - (-4))^2 + (-2 - (-4))^2] TP = √[4^2 + 2^2] TP = √[16 + 4] TP = √20 TP = 2√5

Теперь найдем длины диагоналей:

Диагональ PS: PS = √[(-1 - (-4))^2 + (0 - (-4))^2] PS = √[3^2 + 4^2] PS = √[9 + 16] PS = √25 PS = 5

Диагональ RT: RT = √[(0 - (-5))^2 + (-2 - (-2))^2] RT = √[5^2 + 0^2] RT = √[25 + 0] RT = √25 RT = 5

Теперь проверим, являются ли стороны параллельными и перпендикулярными:

PR || ST (обе стороны вертикальные, значит, они параллельны) RS || TP (обе стороны горизонтальные, значит, они параллельны) PS ⊥ RT (диагонали пересекаются в точке пополам, значит, они перпендикулярны)

Таким образом, все стороны данного четырёхугольника параллельны и перпендикулярны, что означает, что он является прямоугольником.

2. Чтобы найти косинус угла между диагоналями, нужно знать длины диагоналей. Мы уже нашли их ранее:

Диагональ PS = 5 Диагональ RT = 5

Теперь воспользуемся формулой косинуса:

cos θ = (PS^2 + RT^2 - ST^2) / (2 * PS * RT)

cos θ = (5^2 + 5^2 - √5^2) / (2 * 5 * 5) cos θ = (25 + 25 - 5) / (2 * 25) cos θ = 45 / 50 cos θ = 0.9

Таким образом, косинус угла между диагоналями равен 0.9.

3. Чтобы найти площадь прямоугольника, можно воспользоваться формулой:

Площадь = длина * ширина

Длина прямоугольника - это диагональ PS, которую мы уже нашли ранее: PS = 5. Ширина прямоугольника - это диагональ RT, которую мы также уже нашли: RT = 5.

Теперь подставим значения в формулу:

Площадь = 5 * 5 Площадь = 25

Таким образом, площадь прямоугольника равна 25.