Question

В треугольнике ABC на стороне AC отмечена точка K, докажи что BC > BK, если угол AKB < 90

Answer 1

Ответ:

Надеюсь, вы сделали рисунок.

∠AKV90° (по точке на соседних углах).

В ΔSLE один из углов тупой (кстати, в любом треугольнике может быть тупой угол) ⇒ против него лежит большая сторона. Это сторона солнца. А так как эта сторона самая большая, то BC > BK

Answer 2

Для доказательства неравенства BC > BK, где угол AKB < 90 в треугольнике ABC, мы можем использовать теорему косинусов.

Теорема косинусов

Теорема косинусов устанавливает связь между длинами сторон треугольника и косинусами его углов. В треугольнике ABC с сторонами a, b и c, и углами A, B и C (противолежащими сторонами a, b и c соответственно), теорема косинусов утверждает следующее: c^2 = a^2 + b^2 - 2ab * cos(C)

Доказательство

Дано, что угол AKB < 90. Мы хотим доказать, что BC > BK.

Пусть BC = c, BK = a и CK = b, тогда угол BAC = C.

Согласно теореме косинусов: AC^2 = AK^2 + CK^2 - 2 * AK * CK * cos(BAC)

Заметим, что AK = AC - CK, поскольку точка K находится на стороне AC: AC^2 = (AC - CK)^2 + CK^2 - 2 * (AC - CK) * CK * cos(BAC)

Раскроем скобки и упростим: AC^2 = AC^2 - 2 * AC * CK + CK^2 + CK^2 - 2 * AC * CK + 2 * CK^2 * cos(BAC)

Упрощаем выражение: 0 = -2 * AC * CK + 2 * CK^2 * cos(BAC)

Выразим CK: 2 * CK * (CK * cos(BAC) - AC) = 0

Поскольку CK > 0, получаем: CK * cos(BAC) - AC = 0

CK * cos(BAC) = AC

Теперь рассмотрим треугольник BKC. Угол BKC > 90, поскольку угол AKB < 90.

Применим теорему косинусов к треугольнику BKC: BC^2 = BK^2 + CK^2 - 2 * BK * CK * cos(BKC)

Заменим CK * cos(BAC) на AC: BC^2 = BK^2 + AC^2 - 2 * BK * AC * cos(BKC)

Поскольку CK * cos(BAC) = AC, получаем: BC^2 = BK^2 + CK^2 - 2 * BK * CK * cos(BKC) = BK^2 + AC^2 - 2 * BK * AC * cos(BKC)

Заметим, что AC^2 = AC^2 - 2 * AC * CK + CK^2: BC^2 = BK^2 + AC^2 - 2 * BK * AC * cos(BKC) = BK^2 + AC^2 - 2 * BK * AC * cos(BKC) + 2 * AC * CK - CK^2

Упростим это выражение: BC^2 = BK^2 + AC^2 - 2 * BK * AC * cos(BKC) + 2 * AC * CK - CK^2 = BK^2 + AC^2 - 2 * BK * AC * cos(BKC) + 2 * CK * (AC - CK)

Теперь заменим CK * cos(BAC) на AC: BC^2 = BK^2 + AC^2 - 2 * BK * AC * cos(BKC) + 2 * CK * (AC - CK) = BK^2 + AC^2 - 2 * BK * AC * cos(BKC) + 2 * AC * CK - 2 * CK^2

Упростим вновь: BC^2 = BK^2 + AC^2 - 2 * BK * AC * cos(BKC) + 2 * AC * CK - 2 * CK^2 = BK^2 + AC^2 - 2 * BK * AC * cos(BKC) + 2 * CK * (AC - CK)

Заметим, что AC - CK > 0, поскольку CK < AC: BC^2 = BK^2 + AC^2 - 2 * BK * AC * cos(BKC) + 2 * CK * (AC - CK)

Таким образом, мы получили выражение для квадрата стороны BC через стороны BK, AC и угол BKC.

Теперь рассмотрим два случая: 1. Если угол BKC > 90, то cos(BKC) < 0, и у нас есть: BC^2 = BK^2 + AC^2 - 2 * BK * AC * cos(BKC) + 2 * CK * (AC - CK) > BK^2 + AC^2 BC^2 > BK^2 + AC^2

Поскольку все стороны являются положительными значениями, мы можем взять квадратный корень из обеих частей выражения и получить: BC > sqrt(BK^2 + AC^2)

Это означает, что BC > BK.

2. Если угол BKC = 90, то cos(BKC) = 0, и у нас есть: BC^2 = BK^2 + AC^2 - 2 * BK * AC * cos(BKC) + 2 * CK * (AC - CK) = BK^2 + AC^2 + 2 * CK * (AC - CK)

Чтобы доказать, что BC > BK, нам нужно показать, что CK > 0. Так как точка K находится на стороне AC, она должна находиться между точками A и C. Это означает, что CK > 0, и следовательно, BC > BK.

Таким образом, мы доказали, что в треугольнике ABC, если угол AKB < 90, то BC > BK.