Question

Доказать, что для любых тех точек A, B, C справедливо справедливо соотношение AB*BC=BC*CA.(векторы)

Answer 1

Ответ:

характеристического свойства множество всех

точек плоскости, принадлежащих первому координатному углу.

5. Выпишите все подмножества множества {1, 2, 3}.

2.2 Операции над множествами

2.2.1 Определение операций над множествами

Рассмотрим операции пересечения, объединения и разности над

множествами. При этом будем считать, что рассматриваемые множества

являются подмножествами некоторого универсального множества U .

Опpеделение 2.2.1 Пересечением множеств A и B называется

множество A ∩ B, состоящее из тех и только тех элементов, которые

принадлежат множеству A и множеству B.

Согласно определению 2.2.1 A ∩ B = {x | x ∈ A ∧ x ∈ B}

и графически изображается заштрихованной A B

областью, представленной на рисунке 2.

Рис. 2.

Опpеделение 2.2.2 Объединением множеств A и B называется

множество A ∪ B, состоящее из тех и только тех элементов, которые

принадлежат множеству A или множеству B.

Согласно определению 2.2.2 A ∪ B = {x | x ∈ A ∨ x ∈ B}

и графически изображается заштрихованной A B

областью, представленной на рисунке 3.

Рис. 3.

Опpеделение 2.2.3 Разностью множеств A и B называется

множество A \ B, состоящее из тех и только тех элементов, которые

принадлежат множеству A и не принадлежат множеству B.

Согласно определению 2.2.3 A \ B = {x | x ∈ A ∧ x ∈ B}

/

и графически изображается заштрихованной A B

областью, представленной на рисунке 4.

Рис. 4.

Опpеделение 2.2.4 Дополнением множества A до универсального

множества U называется множество A, состоящее из тех и только

тех элементов, которые принадлежат множеству U и не принадлежат

множеству A.

41

Согласно определению 2.2.4 A = {x | x ∈ U ∧ x ∈ A}

/

и графически изображается заштрихованной

A U

областью, представленной на рисунке 5.

Из определений 2.2.4 и 2.2.3 следует, что A = U \ A. Рис. 5.

2.2.2 Свойства операций над множествами

Теоpема 2.2.1 (Свойства операций над множествами) Пусть A,

B, C — произвольные подмножества универсального множества

U . Тогда справедливы следующие утверждения:

1. A ∩ A = A,

— свойства идемпотентности

2. A ∪ A = A,

3. A ∩ B = B ∩ A,

— свойства коммутативности

4. A ∪ B = B ∪ A,

5. A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C,

— свойства ассоциативности

6. A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C,

7. A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C),

— свойства дистрибутивности

8. A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C),

9. (A ∩ B) = A ∪ B,

— свойства де Моргана

10. (A ∪ B) = A ∩ B,

11. A ∩ (A ∪ B) = A,

— свойства поглощения

12. A ∪ (A ∩ B) = A,

13. A = A, — свойство двойного дополнения

14. A \ B = A ∩ B,

15. A ∩ U = A,

16. A ∪ U = U,

17. A ∩ ∅ = ∅,

42

18. A ∪ ∅ = A,

19. A ∩ A = ∅,

20. A ∪ A = U,

21. U = ∅,

22. ∅ = U.

Доказательство каждого равенства основывается на определении

равенства множеств. Заметим, что основные свойства операций над

множествами аналогичны свойствам логических операций, поэтому

доказательства равенств 1–13 осуществляются с использованием

соответствующих равносильностей из теоремы 1.1.3. Докажем,

например, равенство 8). Пусть x — произвольный элемент множества

A ∪ (B ∩ C). Тогда

x ∈ A ∪ (B ∩ C)≡(x ∈ A) ∨ (x ∈ B ∩ C)≡

(x ∈ A) ∨ (x ∈ B) ∧ (x ∈ C)≡((x ∈ A) ∨ (x ∈ B)) ∧ ((x ∈ A) ∨ (x ∈ C))≡

(x ∈ A ∪ B) ∧ (x ∈ A ∪ C)≡x ∈ (A ∪ B) ∩ (A ∪ C).

Поясним доказательство. Сначала мы воспользовались определением

объединения множеств (первая равносильность), затем — определением

пересечения множеств (вторая равносильность), потом применили

свойство дистрибутивности дизъюнкции относительно конъюнкции

(третья равносильность), далее использовали определение объединения

множеств (четвертая равносильность) и в конце — определение

пересечения множеств (пятая равносильность). Таким образом, мы

доказали, что x ∈ A ∪ (B ∩ C) ≡ x ∈ (A ∪ B) ∩ (A ∪ C). Это означает, что

A ∪ (B ∩ C) ⊆ (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) и (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) ⊆ A ∪ (B ∩ C), то

есть A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C).

Доказательство равенства 14) более короткое:

x ∈ A \ B ≡ (x ∈ A) ∧ (x ∈ B) ≡ (x ∈ A) ∧ (x ∈ B) ≡ x ∈ A ∩ B.

/

Равенства 15–18 доказываются с использованием соответствующих

равносильностей 20–23 из теоремы 1.1.3. Докажем, например, равенства

15 и 16.

x ∈ A ∩ U ≡ (x ∈ A) ∧ (x ∈ U ) ≡ (x ∈ A) ∧ И ≡ x ∈ A,

43

x ∈ A ∪ ∅ ≡ (x ∈ A) ∨ (x ∈ ∅) ≡ (x ∈ A) ∨ Л ≡ x ∈ A.

Объяснение:

Answer 2

Vector Proof of the Relationship AB*BC=BC*CA

To prove the relationship AB*BC=BC*CA for any points A, B, and C, we can use the properties of vector multiplication and the commutative property of scalar multiplication.

Let's start by defining the vectors AB, BC, and CA. Then we can proceed with the proof.

1. Defining the Vectors: - Let AB be the vector from point A to point B. - Let BC be the vector from point B to point C. - Let CA be the vector from point C to point A.

2. Vector Multiplication: - The relationship AB*BC=BC*CA involves the dot product of vectors.

3. Proof: - We know that the dot product of two vectors is commutative, meaning A*B = B*A. - Using this property, we can write AB*BC = BC*AB and BC*CA = CA*BC.

Therefore, we can conclude that AB*BC = BC*CA.

This relationship holds true for any points A, B, and C.