Question

две взаимно перпендикулярные грани треугольной пирамиды правильные треугольники со стороной 6. найдите радиус сферы, описанной около данной пирамиды ​

Answer 1

Высоты из точек А и В на ребро SC дают заданный двугранный угол ADB, равный по заданию 90 градусов.

AD = BD = 6*cos30° = 6*(√3/2) = 3√3.

Находим сторону АВ основания из прямоугольного равнобедренного треугольника.

AB = 3√3*√2 = 3√6.

Находим радиус r окружности, описанной около основания.

РАДИУС ОПИСАННОЙ ОКРУЖНОСТИ ОКОЛО РАВНОБЕДРЕННОГО ТРЕУГОЛЬНИКА, ЗНАЯ СТОРОНЫ, ДАН ВО ВЛОЖЕНИИ.

Подставим значения a = 6, b = 3√6.

AO = r = 36/(√((2*6)² - (3√6)²) = 36/√(144 – 54) = 36/√90 = 36√(3√10) = 12/√10 ≈ 3,794733.

Теперь можно определить высоту Н пирамиды.

Н = SO = √(6² - (12/√10)²) = √(36 - (144/10) = √(216/10) = √(108/5) ≈ 4,647580.

Далее используем свойство хорд и равенство ОТ = АО как радиусы.

АО*ОТ = АО² = (12/√10)² = 144/10 = 72/5.

ОК = АО²/SO (72/5)/√(108/5) = 72√5/(5√(108)).

Тогда искомый радиус R сферы, описанной около пирамиды, равен:

R = (SO + OK)/2 = √(108/5) + (72√5/(5√(108))/2  ≈ 3,872983.

Answer 2

Чтобы найти радиус сферы, описанной около данной пирамиды, можно использовать следующую формулу:

r = (a/√2) / 2

Где "a" - сторона правильного треугольника, образующего грани пирамиды.

В данном случае, сторона треугольника равна 6, поэтому подставляя в формулу:

r = (6/√2) / 2 r = (6 * √2) / (2 * 2) r = (6 * √2) / 4 r = (3 * √2) / 2

Таким образом, радиус сферы, описанной около данной пирамиды, равен (3 * √2) / 2.