Question

1.Сторона квадрата 16 см. Найдите радиусы вписанной и описанной окружностей. 2.Радиус окружности 6м, определить длину ее дуги с центральным углом 135 гр 3.Найдите радиус окружности, вписанной в правильный многоугольник со стороной 30 см, если радиус окруж описанной около многоугол. равен 10 см 4.вычислите сторону правильного треугольника, описанного около окружности радиуса 3 см 5.найдите радиус окружности описанной около правильного многоугольника со стороной 24см, если радиус окружности вписанной равен 4см

Answer 1

Давайте рассмотрим каждый вопрос по очереди.

1. Сторона квадрата 16 см. Найдите радиусы вписанной и описанной окружностей.

Для квадрата радиус описанной окружности равен половине длины диагонали квадрата. Диагональ квадрата можно найти, используя теорему Пифагора:

\(d^2 = a^2 + a^2\)

Где \(d\) - диагональ, \(a\) - сторона квадрата.

\(d^2 = 16^2 + 16^2 = 256 + 256 = 512\)

\(d = \sqrt{512} \approx 22.63\) см

Таким образом, радиус описанной окружности равен половине длины диагонали:

\(R_{\text{описанная}} = \frac{d}{2} \approx \frac{22.63}{2} \approx 11.31\) см

Радиус вписанной окружности квадрата равен половине длины стороны:

\(R_{\text{вписанная}} = \frac{a}{2} = \frac{16}{2} = 8\) см

2. Радиус окружности 6 м, определить длину ее дуги с центральным углом 135 градусов.

Длина дуги окружности \(S\) вычисляется по формуле:

\(S = \frac{\theta}{360} \times 2\pi R\)

Где \(\theta\) - центральный угол, \(R\) - радиус.

\(S = \frac{135}{360} \times 2\pi \times 6 \)

\(S \approx \frac{3}{8} \times 12\pi \approx 11.09\) м

3. Найдите радиус окружности, вписанной в правильный многоугольник со стороной 30 см, если радиус окружности описанной около многоугольника равен 10 см.

Для правильного многоугольника с радиусом описанной окружности \(R_{\text{описанная}}\) и стороной \(a\), радиус вписанной окружности \(R_{\text{вписанная}}\) вычисляется по формулам:

\(R_{\text{вписанная}} = R_{\text{описанная}} \cdot \cos(\frac{\pi}{n})\)

Где \(n\) - количество сторон многоугольника.

\(R_{\text{вписанная}} = 10 \cdot \cos(\frac{\pi}{\frac{360}{30}})\)

\(R_{\text{вписанная}} \approx 10 \cdot \cos(\frac{\pi}{12}) \approx 8.66\) см

4. Вычислите сторону правильного треугольника, описанного около окружности радиуса 3 см.

В правильном треугольнике, описанном около окружности, радиус окружности равен половине длины стороны треугольника.

Сторона треугольника \(a = 2 \times R_{\text{вписанная}} = 2 \times 3 = 6\) см

5. Найдите радиус окружности, описанной около правильного многоугольника со стороной 24 см, если радиус окружности вписанной равен 4 см.

Используем тот же принцип, что и в предыдущем вопросе:

\(R_{\text{вписанная}} = 4\)

\(R_{\text{описанная}} = \frac{a}{2 \cdot \sin(\frac{\pi}{n})}\)

Где \(n\) - количество сторон многоугольника.

\(R_{\text{описанная}} = \frac{24}{2 \cdot \sin(\frac{\pi}{\frac{360}{n}})}\)

Учитывая, что это правильный многоугольник, у которого угол между сторонами равен \(\frac{360}{n}\), мы можем записать:

\(R_{\text{описанная}} = \frac{24}{2 \cdot \sin(\frac{\pi}{\frac{360}{\frac{360}{n}}})} = \frac{24}{2 \cdot \sin(\frac{\pi}{n})}\)

После подстановки данных получаем:

\(4 = \frac{24}{2 \cdot \sin(\frac{\pi}{n})}\)

\(\sin(\frac{\pi}{n}) = \frac{24}{2 \cdot 4}\)

\(\sin(\frac{\pi}{n}) = \frac{3}{2}\)

Это уравнение не имеет решений в обычных пределах, поэтому что-то пошло не так в расчетах или в постановке задачи. Возможно, вам нужно пересмотреть условия задачи.