Question

Найти производную ƒ(x)=cos(x)·x5

Answer 1

Давайте найдем производную функции \( f(x) = \cos(x) \cdot x^5 \). Для этого мы будем использовать правила дифференцирования.

1. Производная косинуса: \[ \frac{d}{dx}(\cos(x)) = -\sin(x) \]

2. Производная монома \( x^n \): \[ \frac{d}{dx}(x^n) = n \cdot x^{n-1} \]

Теперь применим эти правила к функции \( f(x) \):

\[ f'(x) = \frac{d}{dx}(\cos(x) \cdot x^5) \]

Используем правило производной произведения:

\[ f'(x) = (\frac{d}{dx}(\cos(x))) \cdot x^5 + \cos(x) \cdot (\frac{d}{dx}(x^5)) \]

Подставим выражения для производных:

\[ f'(x) = -\sin(x) \cdot x^5 + \cos(x) \cdot 5x^4 \]

Таким образом, производная функции \( f(x) = \cos(x) \cdot x^5 \) равна:

\[ f'(x) = 5x^4 \cos(x) - x^5 \sin(x) \]