Question

F (x)=(1-2x)^5 Найдите первообрпзную функции

Answer 1

Для нахождения первообразной функции \( F(x) \) для данной функции \( f(x) = (1 - 2x)^5 \), нужно произвести обратную операцию дифференцирования.

Дифференцирование степенной функции вида \( (ax + b)^n \) осуществляется по формуле цепочки (chain rule). В данном случае \( a = -2 \), \( b = 1 \), \( n = 5 \). По формуле цепочки:

\[ \frac{d}{dx} (1 - 2x)^5 = 5(1 - 2x)^4 \cdot (-2) \]

Упростим это выражение:

\[ -10(1 - 2x)^4 \]

Теперь найдем первообразную \( F(x) \) для \( f(x) \):

\[ F(x) = \int -10(1 - 2x)^4 \,dx \]

Для интегрирования степенных функций применим стандартную формулу:

\[ \int (ax + b)^n \,dx = \frac{1}{a(n+1)}(ax + b)^{n+1} + C \]

где \( C \) - константа интегрирования. Применяя эту формулу к нашему интегралу:

\[ F(x) = -\frac{10}{-2 \cdot (4+1)}(1-2x)^{4+1} + C \]

Упростим выражение:

\[ F(x) = \frac{2}{5}(1 - 2x)^5 + C \]

Таким образом, первообразная функции \( f(x) = (1 - 2x)^5 \) равна:

\[ F(x) = \frac{2}{5}(1 - 2x)^5 + C \]

где \( C \) - произвольная константа интегрирования.