Question

В равнобедренном треугольнике ABC и основанием AC и боковой стороной равной 15 см а периметр 54 см вписана окружность найти радиус этой окружности

Answer 1

AB=BC=15 см         Pabc=54 см           AC=54-15*2=24 см
проведем из вершины В высоту к основанию BH 
из прямоугольного треугольника ABH  BH=9 см
тогда Sabc=AC*BH/2=24*9/2=108 см^2
так же мы знаем, что Sabc=r*Pabc/2   , где r - радиус вписанной окружности
r=2*Sabc/Pabc=2*108/54=4 см
Ответ: 4 см

Answer 2

Для решения данной задачи, нам понадобится использовать некоторые свойства равнобедренных треугольников и окружностей, а также некоторые формулы из геометрии.

Свойства равнобедренных треугольников

- В равнобедренном треугольнике основания равны, а высота, опущенная из вершины треугольника на основание, является биссектрисой, медианой и высотой. - Углы при основании равнобедренного треугольника равны.

Свойства вписанных окружностей

- Вписанная окружность треугольника касается каждой из сторон треугольника в одной точке. - Радиус вписанной окружности можно выразить через площадь треугольника и его полупериметр (полусумму длин сторон).

Решение задачи

Пусть радиус вписанной окружности равен R. Так как треугольник ABC равнобедренный, то сторона AB равна стороне BC. Обозначим сторону AB (и BC) как a. Тогда сторона AC равна 15 см.

Периметр треугольника ABC равен сумме длин сторон треугольника: 54 см = a + a + 15 см 54 см = 2a + 15 см

Выразим a: 2a = 54 см - 15 см 2a = 39 см a = 39 см / 2 a = 19.5 см

Таким образом, сторона AB (и BC) равна 19.5 см.

Полупериметр треугольника равен половине суммы длин его сторон: s = (a + a + 15 см) / 2 s = (19.5 см + 19.5 см + 15 см) / 2 s = 54 см / 2 s = 27 см

Площадь треугольника можно выразить через его полупериметр и радиус вписанной окружности: S = sqrt(s * (s - a) * (s - a) * (s - 15 см))

Так как треугольник ABC равнобедренный, то высота, опущенная из вершины треугольника на основание, является медианой и высотой. Высота равна половине основания: h = 15 см / 2 h = 7.5 см

Также из свойств вписанных окружностей известно, что радиус вписанной окружности равен отношению площади треугольника к полупериметру: R = S / s

Подставим значения в формулу: R = sqrt(s * (s - a) * (s - a) * (s