Question

Не решая уравнения: x^2-х-1=0, найдите значения выражения: a) x1^3+x2^3=?

Answer 1

$x^{2} -x-1=0$

По теореме Виета, зная коэффициенты квадратного уравнения, получаем:

$\left \{ {{x_1+x_2=1} \atop {x_1x_2=-1}} \right.$

Упрости данное нам выражение:

$x_1^3+x_2^3=(x_1+x_2)(x_1^2-x_1x_2+x_2^2)= =(x_1+x_2)(x_1^2+2x_1x_2+x_2^2-2x_1x_2-x_1x_2)= =(x_1+x_2)((x_1+x_2)^2-3x_1x_2)$

Подставим в получившееся выражение значения суммы и произведения корней:

$1*(1^2-3*(-1))=1+3=4$

ОТВЕТ: 4

Answer 2

Конечно, могу помочь! Для нахождения значения выражения \(x_1^3 + x_2^3\) при условии \(x^2 - x - 1 = 0\), воспользуемся формулами Виета.

Формулы Виета связывают коэффициенты многочлена с его корнями. Для квадратного уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\) с корнями \(x_1\) и \(x_2\) они имеют вид:

1. Сумма корней: \(x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}\) 2. Произведение корней: \(x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}\)

Теперь, если мы знаем значения \(x_1\) и \(x_2\), мы можем выразить \(x_1^3 + x_2^3\):

Имеем формулу суммы кубов: \[x_1^3 + x_2^3 = (x_1 + x_2)(x_1^2 - x_1x_2 + x_2^2)\]

А также: \[x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2\]

Теперь найдем сначала сумму и произведение корней:

Для \(x^2 - x - 1 = 0\) коэффициенты \(a = 1\), \(b = -1\), \(c = -1\).

Сумма корней: \(x_1 + x_2 = -\frac{-1}{1} = 1\)

Произведение корней: \(x_1 \cdot x_2 = \frac{-1}{1} = -1\)

Теперь найдем значение \(x_1^2 + x_2^2\): \[x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 = 1^2 - 2(-1) = 1 + 2 = 3\]

Теперь мы можем вычислить \(x_1^3 + x_2^3\): \[x_1^3 + x_2^3 = (x_1 + x_2)(x_1^2 - x_1x_2 + x_2^2) = 1 \cdot (x_1^2 - x_1x_2 + x_2^2)\]

У нас уже есть значение \(x_1^2 + x_2^2 = 3\), так что: \[x_1^3 + x_2^3 = 1 \cdot (3) = 3\]

Итак, \(x_1^3 + x_2^3 = 3\).