Question

Составить уравнение плоскости,проходящий через ось OY и точку А(-1,3,-3)

Answer 1

Возьмем на OY две различные точки, к примеру В(0;1;0) и С(0;0;0).
Имея точку А(-1;3;-3) и В(0;1;0), С(0;0;0) точки можно составить уравнение плоскости, проходящей через эти три точки.

$x_1=-1; \ y_1=3; \ z_1=-3 \\ x_2=0; \ y_2=1; \ z_2=0 \\ x_3=0; \ y_2=0; \ z_3=0$

$\left|\begin{array}{ccc}x-x_1&y-y_1&z-z_1\\x_2-x_1&y_2-y_1&z_2-z_1\\x_3-x_1&y_3-y_1&z_3-z_1\end{array}\right|=0$

$\left|\begin{array}{ccc}x+1&y-3&z+3\\1&-2&3\\1&-3&3\end{array}\right|=(x+1) \left|\begin{array}{cc}-2&3\\-3&3\end{array}\right| -(y-3)\left|\begin{array}{cc}1&1\\3&3\end{array}\right|+ \\ +(z+3)\left|\begin{array}{cc}1&-2\\1&-3\end{array}\right|=(x+1)(-6+9)-(y-3)(3-3)+ \\ +(z+3)(-3+2)=3(x+1)-z-3=3x+3-z-3=3x-z=0 \\ \\ \alpha :3x-z=0$

Answer 2

Уравнение плоскости можно представить в виде \(Ax + By + Cz + D = 0\), где \(A\), \(B\), \(C\) - это коэффициенты плоскости, а \(D\) - свободный член.

Если плоскость проходит через ось \(OY\), то она параллельна \(OXZ\)-плоскости, и координата \(x\) у точек на этой плоскости всегда равна 0.

Таким образом, уравнение плоскости, проходящей через ось \(OY\) и точку \(A(-1, 3, -3)\), можно записать в виде:

\[B \cdot y + C \cdot z + D = 0\]

Теперь найдем значения коэффициентов \(B\), \(C\) и \(D\), используя координаты точки \(A(-1, 3, -3)\).

Подставим координаты точки в уравнение:

\[B \cdot 3 + C \cdot (-3) + D = 0\]

Упростим:

\[3B - 3C + D = 0\]

Таким образом, у нас есть бесконечное множество решений, потому что у нас есть три неизвестных (\(B\), \(C\), \(D\)), но у нас только одно уравнение.

Теперь мы можем выбрать, например, \(B = 1\), \(C = 1\), и подставить это в уравнение:

\[3 \cdot 1 - 3 \cdot 1 + D = 0\]

\[D = 0\]

Таким образом, уравнение плоскости, проходящей через ось \(OY\) и точку \(A(-1, 3, -3)\), может быть, например:

\[y + z = 0\]