Question

Найдите наибольшее трехзначное число которое не делится на 129,но если его запись повторить 12 раз то многозначное число будет делится на 129

Answer 1

Для начала представим число 129 в виде простых множителей:
129 = 43 × 3

Пусть искомое число состоит из цифр a, b, c, т.е. число такое 100a + 10b + c.
Тогда сумма цифр этого числа равна (a + b + c). Когда мы повторяем число 12 раз, то и сумма его цифр увеличится в 12 раз, т.е. 12 × (a + b + c). Сумма цифр делится на 3! Значит, какое бы мы трёхзначное число не взяли, повторив его 12, уже будет делиться на 3.

Пусть x = 100a + 10b + c искомое число, которое делится на 43, но не делится на 3. Когда мы число x повторим 12 раз получим такое число:
$x + 10^3x + 10^6x +10^9x + 10^{12}x + 10^{15}x + 10^{18}x + 10^{21}x+ \\ \\ + 10^{24}x+ 10^{27}x +10^{30}x + 10^{33}x = \\ \\ \\ x(1+10^3 + 10^6 +10^9 + 10^{12} + 10^{15} + 10^{18} +\\ \\ + 10^{21}+10^{24}+ 10^{27}+10^{30} + 10^{33})$

Если число x будет делиться на 43, то и вся наша длинная конструкция будет делиться 43, ну а на 3 она делится из-за повторения 12 раз, что было доказано выше.
В общем, надо подобрать наибольшее трёхзначное число, которое будет делиться на 43, но де будет делиться на 3, а значит не будет делиться и на 129. Но после 12-кратного повторения этого числа, поученное 36 значное число будет делиться на 129.

Подбираем: 1000 : 43 = 23 и 11 в остатке. 43 × 23 = 989.
Проверим, делится ли оно на 3? Сумма цифр 9 + 8 + 9 = 26, следовательно, число 989 не делится на 3.

Ответ: 989

Answer 2

Для решения этой задачи нужно найти максимальное трехзначное число, которое не делится на 129, и проверить, будет ли многозначное число, состоящее из повторения записи этого числа 12 раз, делиться на 129.

Поскольку нам нужно найти максимальное трехзначное число, мы начинаем с числа 999 и пошагово уменьшаем его на 1.

999 не делится на 129, поэтому проверяем многозначное число, состоящее из повторения записи 999 12 раз:

999999999999 находим остаток от деления на 129. 999999999999 / 129 = 7751937984 с остатком 75.

Остаток равен 75, что означает, что число 999999999999 не делится на 129.

Повторяем процесс с числом 998:

998 не делится на 129, поэтому проверяем многозначное число, состоящее из повторения записи 998 12 раз:

998998998998998998998998998998998998998998998998998998998998998998998998998998998998998998998998998998998998998998998998998998998998998998998998998998998998998998998998998998998998998998998998998998998998998998998998998998998998998998998998998998998998998998998998998998998998998998998998998998998998998998998998998998998998998998998998998998998998998998998998998998998998998998998998998998998998998998998998998998998998998998998998998998998998998998998998998998998998998998998998998998998998998998998998998998998998998998998998998998998998998998998998998998998998998998998998998998998998998998998998998998998998998998998998998998998998998998998998998998998998998998998998998998998998998998998999

Многозначное число, состоящее из повторения записи числа 998 12 раз, также не делится на 129.

И так далее, пока не найдем число, которое будет делиться на 129.

Наибольшее трехзначное число, которое не делится на 129, но если его запись повторить 12 раз, многозначное число будет делиться на 129, равно 997.