Question

СРОЧНО!!! Чему равна сумма: 1/(1*3)+1/(3*5)+1/(5*7)+⋯+1/(2013*2015)

Answer 1

Заметим, что каждая дробь представима в виде: 

$\frac{1}{n(n+2)} = \frac{1}{2} \cdot ( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+2} )$

Тогда заменим дроби соответсвующими суммами:

$\frac{1}{1\cdot 3} + \frac{1}{3\cdot 5} + \frac{1}{5\cdot 7} +...+ \frac{1}{2011\cdot 2013} + \frac{1}{2013\cdot 2015} =\\\\=\frac{1}{2}\cdot ( (\frac{1}{1} - \frac{1}{3} )+ (\frac{1}{3} - \frac{1}{5} )+( \frac{1}{5} - \frac{1}{7} )+...+( \frac{1}{2011} - \frac{1}{2013} )+$

$+( \frac{1}{2013} - \frac{1}{2015} ))=\frac{1}{2}\cdot (1-\frac{1}{2015})=\frac{1}{2}\cdot \frac{2014}{2015}= \frac{1007}{2015}$

Answer 2

Для решения этой задачи, мы можем выразить сумму в виде суммы дробей и затем попытаться упростить ее. Давайте разберемся с каждой дробью по отдельности, чтобы найти общий вид для суммы.

Мы имеем ряд дробей вида 1/(n*(n+2)), где n принимает значения от 1 до 2013.

Выразим каждую дробь в виде суммы двух дробей:

1/(n*(n+2)) = (1/n) - (1/(n+2))

Теперь мы можем выразить сумму в виде суммы разностей двух последовательных членов:

(1/1 - 1/3) + (1/3 - 1/5) + (1/5 - 1/7) + ... + (1/2013 - 1/2015)

Обратите внимание, что множители 1 и -1 чередуются. Когда мы сгруппируем члены и упростим их, большинство дробей отменятся:

(1/1 - 1/3) + (1/3 - 1/5) + (1/5 - 1/7) + ... + (1/2013 - 1/2015) = 1/1 - 1/2015

Теперь нам осталось вычислить эту разность:

1/1 - 1/2015 = (2015 - 1)/2015 = 2014/2015

Таким образом, сумма равна 2014/2015.

Надеюсь, это помогло! Если у вас возникли еще вопросы, пожалуйста, дайте мне знать.