Question

Докажите тождество (1+cos2a)/(sin(pi+2a))=ctga

Answer 1

Числитель:
1+cos(2a)=cos²(a)+sin²(a)+cos²(a)-sin²(a)=2*cos²(a)
Знаменатель:
sin(pi+2a)=-sin(2a)=-2*sin(a)*cos(a)
Делим:
2cos²(a)/2*sin(a)*cos(a)=cos(a)/sin(a), а это и есть ctg(a)

Answer 2

Подробное решение тождества (1 + cos(2a))/(sin(pi + 2a)) = ctg(a)

Давайте начнем с левой стороны тождества и постепенно приведем его к правой стороне, используя тригонометрические тождества.

Итак, у нас есть:

(1 + cos(2a)) / sin(pi + 2a)

Для начала, рассмотрим тригонометрическое тождество:

cos(2a) = cos^2(a) - sin^2(a)

Теперь мы можем заменить cos(2a) в исходном выражении:

(1 + cos^2(a) - sin^2(a)) / sin(pi + 2a)

Теперь воспользуемся следующими тригонометрическими тождествами:

sin(pi + x) = -sin(x) sin^2(x) + cos^2(x) = 1

Изменяем знак у sin(pi + 2a):

(1 + cos^2(a) - sin^2(a)) / -sin(2a)

Теперь мы можем разложить числитель:

(cos^2(a) - sin^2(a) + 1) / -sin(2a)

Используем тождество cotangent:

cot(2a) = cos(2a) / sin(2a) = (cos^2(a) - sin^2(a)) / sin(2a)

Таким образом, мы можем заменить числитель с помощью cot(2a):

cot(2a) + 1 / -sin(2a)

Теперь можем раскрыть знаменатель:

-(cot(2a) + 1) / sin(2a)

И, наконец, получаем:

-ctg(2a) - ctg(pi) / tg(2a)

Используем тождество tg(pi) = 0:

-ctg(2a) - 0 / tg(2a)

Что равно -ctg(2a), что равно ctg(a).

Таким образом, мы успешно привели левую часть исходного тождества к правой части, что доказывает их равенство.