Question

найти значение (cos π/12 - sin π/12) * (cos^3 π/12 + sin^3 π/12)

Answer 1

(cos π/12  - sin π/12) * (cos^3 π/12  + sin^3 π/12)=

использьвав формулу суммы кубов, получим

=(cos π/12  - sin π/12) * (cos π/12  + sin π/12)*(cos^2 π/12  + sin^2 π/12-cos π/12 * sin π/12) =

использовав формулу квадрата разности и основное тригонометрическое тождество и формулу двойного угла для синуса, получим

=(cos^2 π/12  - sin^2 π/12) * (1-1/2*sin π/ 6))

=использовав формулу двойного угла для косинуса, получим=

(cos π/ 6)) (1-1/2*sin π/ 6))=

использовав табличные значения косинуса и синуса π/ 6, получим =

корень(3)/2*(1-1/2*1/2)=3*корень(3)/8

ответ: 3*корень(3)/8

 

Answer 2

Для решения данной задачи нам необходимо использовать тригонометрические тождества.

Начнем с выражения (cos π/12 - sin π/12). Мы можем использовать формулу разности для косинуса и синуса: cos(α - β) = cos α * cos β + sin α * sin β. Применим эту формулу к нашему выражению:

cos(π/6 - π/12) = cos π/6 * cos π/12 + sin π/6 * sin π/12 cos(π/6 - π/12) = (√3/2 * √3/2) + (1/2 * √3/2) cos(π/6 - π/12) = 3/4 + √3/4 cos(π/6 - π/12) = (3 + √3)/4

Теперь рассмотрим выражение (cos^3 π/12 + sin^3 π/12). Мы можем использовать формулу суммы кубов: a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2). Применим эту формулу к нашему выражению:

cos^3 π/12 + sin^3 π/12 = (cos π/12 + sin π/12)(cos^2 π/12 - cos π/12 * sin π/12 + sin^2 π/12)

Теперь у нас есть два выражения: (3 + √3)/4 и (cos^2 π/12 - cos π/12 * sin π/12 + sin^2 π/12). Мы можем вычислить значение второго выражения, используя тождество cos^2 α + sin^2 α = 1:

cos^2 π/12 + sin^2 π/12 = 1

Теперь мы можем заменить cos^2 π/12 + sin^2 π/12 в нашем втором выражении:

(cos π/12 + sin π/12)(1 - cos π/12 * sin π/12)

Мы знаем, что cos π/12 * sin π/12 = sin 2π/24 = 1/2 * sin π/6 = 1/2 * 1/2 = 1/4. Подставим это значение в наше выражение:

(3 + √3)/4 * (1 - 1/4) (3 + √3)/4 * (3/4)

Теперь у нас есть выражение (3 + √3)/4 * (3/4), которое мы можем упростить:

(3 + √3)/4 * (3/4) = (9 + 3√3)/16

Итак, значение выражения (cos π/12 - sin π/12) * (cos^3 π/12 + sin^3 π/12) равно (9 + 3√3)/16.