Question

Найти значения параметра а при каждом из которых система уравнений имеет единственное решение: x^2+y^2=a x-y =a

Answer 1

Второе уравнение возведем в квадрат
(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2 = a^2
Подставляем 1 уравнение
a - 2xy = a^2
2xy = a^2 - a
Получаем систему
{ 2xy = a^2 - a
{ x = a + y
2y(a + y) - (a^2 - a) = 0
2y^2 + 2ay + (a - a^2) = 0
Получили квадратное уравнение. Решение единственно, если D = 0
D = (2a)^2 - 4*2(a-a^2) = 4a^2-8a+8a^2 = 12a^2-8a = 4a(3a-2) = 0
a1 = 0; x1 = y1 = 0
a2 = 2/3; 
2y^2 + 4/3*y + (2/3 - 4/9) = 0
Умножаем все на 9 и делим на 2
9y^2 + 6y + 1 = (3y + 1)^2 = 0
y2 = -1/3; x2 = a + y = 2/3 - 1/3 = 1/3
Ответ: a1 = 0; решение (0; 0); a2 = 2/3; решение (1/3; -1/3)

Answer 2

Сначала преобразуем систему уравнений: 1) x^2 + y^2 = a 2) x - y = a

Решим второе уравнение относительно x: x = y + a

Теперь подставим это значение x в первое уравнение: (y + a)^2 + y^2 = a y^2 + 2ay + a^2 + y^