Question

решите неравенства:1)cos3 меньше 1/2;2)tg(2x+π/6) больше или равно -корень из 3.

Answer 1

Решение во вложении.

Answer 2

Давайте решим неравенства по очереди:

1) cos(3x) < 1/2:

Чтобы решить это неравенство, мы можем использовать таблицу значений функции косинуса или график. Однако, я могу предоставить вам аналитическое решение.

Заметим, что косинус является периодической функцией с периодом 2π. То есть, cos(x) = cos(x + 2πk), где k - целое число.

Неравенство cos(3x) < 1/2 можно переписать в виде:

-1/2 < cos(3x) < 1/2.

Давайте найдем все значения x, удовлетворяющие этому неравенству.

Сначала найдем значения x, для которых cos(3x) = 1/2:

cos(3x) = 1/2 3x = π/3 + 2πk или 3x = 5π/3 + 2πk, где k - целое число.

Для первого случая получаем: x = π/9 + 2πk/3 или x = 5π/9 + 2πk/3.

А для второго случая: x = 5π/9 + 2πk/3 или x = 13π/9 + 2πk/3.

Теперь найдем значения x, для которых cos(3x) = -1/2:

cos(3x) = -1/2 3x = 2π/3 + 2πk или 3x = 4π/3 + 2πk, где k - целое число.

Для первого случая получаем: x = 2π/9 + 2πk/3 или x = 4π/9 + 2πk/3.

А для второго случая: x = 4π/9 + 2πk/3 или x = 10π/9 + 2πk/3.

Таким образом, решение исходного неравенства cos(3x) < 1/2 будет выглядеть следующим образом:

x ∈ (2π/9 + 2πk/3, π/9 + 2πk/3) ∪ (4π/9 + 2πk/3, 5π/9 + 2πk/3),

где k - целое число.

2) tg(2x + π/6) ≥ -√3:

Давайте решим это неравенство аналитически.

Возьмем тангенс обеих частей неравенства:

tg(2x + π/6) ≥ -√3.

Так как тангенс является периодической функцией с периодом π, мы можем рассмотреть только значения 2x + π/6 в диапазоне от 0 до 2π.

Давайте найдем значения 2x + π/6, для которых tg(2x + π/6) = -√3:

2x + π/6 = -π/3 + πk или 2x + π/6 = 2π/3 + πk, где k - целое число.

Для первого случая получаем: x = -5π/18 + πk/2 или x = -π/9 + πk/2.

А для второго случая: x = 5π/18 + πk/2 или x = 5π/9 + πk/2.

Теперь найдем значения 2x + π/6, для которых tg(2x + π/6) > -√3:

2x + π/6 > -π/3 + πk или 2x + π/6 > 2π/3 + πk, где k - целое число.

Для первого случая получаем: x > -7π/18 + πk/2 или x > -π/6 + πk/2.

А для второго случая: x > 7π/18 + πk/2 или x > 7π/9 + πk/2.

Таким образом, решение исходного неравенства tg(2x + π/6) ≥ -√3 будет выглядеть следующим образом:

x ∈ (-7π/18 + πk/2, -5π/18 + πk/2) ∪ (-π/6 + πk/2, -π/9 + πk/2) ∪ (5π/18 + πk/2, 5π/9 + πk/2) ∪ (7π/18 + πk/2, +∞),

где k - целое число.