Question

Найти экстремумы и интервалы монотонности функции: f(x)= 1/3x³ + 1/2x² - 2x + 1/6

Answer 1

F(x)=1/3x³ +1/2x² - 2x + 1/6
f `(x)=1/3 *3x² + 1/2 *x -2 = x²+x-2
f `(x)=0 при x²+x-2=0
                 (x-1)(x+2)=0
         +                      -                          +
___________-2______________1_______________
                max                       min
x(max)=-2; x(min)=1 - точки экстремума
f(x)- возрастает при х∈(-∞;-2)∨(1;+∞)
f(x)-убывает при х∈(-2;1)

Answer 2

Да, конечно, давай решим эту задачу.

Для нахождения экстремумов и интервалов монотонности функции \( f(x) = \frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2 - 2x + \frac{1}{6} \) нужно выполнить следующие шаги:

1. Найдем производную функции \( f'(x) \). 2. Решим уравнение \( f'(x) = 0 \) для нахождения критических точек. 3. Построим таблицу знаков производной на основе критических точек. 4. Определим интервалы монотонности функции. 5. Найдем значения функции в критических точках и на концах интервалов, чтобы определить экстремумы.

Давай начнем с первого шага:

1. Найдем производную функции \( f(x) \):

\[ f'(x) = x^2 + x - 2 \]

2. Решим уравнение \( f'(x) = 0 \):

\[ x^2 + x - 2 = 0 \]

Это квадратное уравнение можно решить с помощью формулы дискриминанта или факторизации. Если решить уравнение, получим два значения для \( x \), которые будут критическими точками.

3. Построим таблицу знаков производной:

\[ \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \text{Интервал} & (-\infty, x_1) & (x_1, x_2) & (x_2, +\infty) \\ \hline f'(x) & - & + & - \\ \hline \end{array} \]

где \( x_1 \) и \( x_2 \) - корни уравнения \( f'(x) = 0 \).

4. Определим интервалы монотонности:

- На интервале (-∞, \( x_1 \)), производная \( f'(x) \) отрицательна, следовательно, функция убывает на этом интервале. - На интервале (\( x_1, x_2 \)), производная \( f'(x) \) положительна, следовательно, функция возрастает на этом интервале. - На интервале (\( x_2, +\infty \)), производная \( f'(x) \) отрицательна, следовательно, функция убывает на этом интервале.

5. Найдем значения функции в критических точках и на концах интервалов:

- Вычислим \( f(x_1) \), \( f(x_2) \), \( f(-\infty) \) и \( f(+\infty) \). - Эти значения помогут нам определить экстремумы.

После выполнения этих шагов мы сможем сказать, где функция возрастает, убывает, и найти значения экстремумов. Надеюсь, это поможет!