Question

Материальная точка движется прямолинейно с ускорением a(t)=(12t^2+4) м/с. Найдите закон движения точки, если в момент времени t=1 с ее скорость равна 10 м/с, а координата 12 м.

Answer 1

A(t)=12t²+4  v(t)=∫(12t²+4)dt=12/3t³+4t=4t³+4t+c  v(1)=8+c=10    c=2
v(t)=4t³+4t+2 м/сек
x(t)=∫(4t³+4t+2)dt=t⁴+2t²+2t +c1   x(1)=5+c1=12  c1=7
x(t)=t⁴+2t²+2t+7 м

Answer 2

Для нахождения закона движения точки необходимо проинтегрировать ускорение по времени два раза.

Известно, что скорость - это производная координаты по времени, поэтому можем записать:

v(t) = ∫(a(t)dt) = ∫((12t^2+4)dt) = 4t^3 + 4t + C1,

где C1 - постоянная интегрирования.

Из условия задачи, при t=1 секунда скорость равна 10 м/с, поэтому:

10 = 4(1)^3 + 4(1) + C1, 10 = 8 + 4 + C1, C1 = -2.

Теперь найдем координату точки. Для этого проинтегрируем скорость по времени:

s(t) = ∫(v(t)dt) = ∫((4t^3 + 4t - 2)dt) = t^4 + 2t^2 - 2t + C2,

где C2 - постоянная интегрирования.

Из условия задачи, при t=1 секунда координата равна 12 метров, поэтому:

12 = (1)^4 + 2(1)^2 - 2(1) + C2, 12 = 1 + 2 - 2 + C2, C2 = 11.

Таким образом, закон движения точки будет иметь вид:

s(t) = t^4 + 2t^2 - 2t + 11.