Question

Помогите решить неравенство.

Answer 1

$x - 5 +\sqrt{ \frac{x-5}{x-3} } \ \textless\ \frac{6}{x-3}$
Область определения:
{ x ≠ 3
{ (x-5)/(x-3) >= 0
x ∈ (-oo; 3) U [5; +oo)

Если x < 3, то при умножении на (x-3) знак неравенства поменяется.
$(x-5)(x-3)+ \sqrt{(x-5)(x-3)}\ \textgreater \ 6$
Замена $\sqrt{(x-5)(x-3)}=y > 0$ при любом x < 3, так как корень арифметический, то есть неотрицательный.
y^2 + y - 6 > 0
(y - 2)(y + 3) > 0
y ∈ (-oo; -3) U (2; +oo), но, так как y > 0, то
y ∈ (2; +oo)
Обратная замена.
$\sqrt{(x-5)(x-3)} \ \textgreater \ 2$
x^2 - 8x + 15 > 4
x^2 - 8x + 11 > 0
D/4 = 4^2 - 11 = 16 - 11 = 5
x1 = 4 - √5 ~ 1,764 < 3
x2 = 4 + √5 ~ 6,236 > 3
x ∈ (-oo; 4-√5) U (4+√5; +oo), но x < 3, поэтому
x ∈ (-oo; 4-√5) - ЭТО РЕШЕНИЕ

Если x >= 5, то при умножении на (x-3) знак неравенства остается
$(x-5)(x-3)+ \sqrt{(x-5)(x-3)}\ \textless \ 6$
Решаем точно такой же заменой.
$y= \sqrt{(x-5)(x-3)}\  \geq 0$ при любом x >= 5
y^2 + y - 6 < 0
(y + 3)(y - 2) < 0
y ∈ (-3; 2), но y >= 0, поэтому
y ∈ [0; 2)
{ $\sqrt{(x-5)(x-3)}\  \geq 0$ - это верно для любого x >= 5
{ $\sqrt{(x-5)(x-3)}\ \textless \ 2$
x^2 - 8x + 15 < 4
x^2 - 8x + 11 < 0
D/4 = 4^2 - 11 = 16 - 11 = 5
x1 = 4 - √5 ~ 1,764 < 5
x2 = 4 + √5 ~ 6,236 > 5
x ∈ (4-√5; 4+√5), но x >= 5, поэтому
x ∈ [5; 4+√5) - ЭТО РЕШЕНИЕ.

Ответ: (-oo; 4-√5) U [5; 4+√5)