Question

Вычисли интеграл ∫8^x(4+4⋅8^−x)dx Решите пожалуйста как можно быстрее!!!

Answer 1

S(4*8^x+4)dx = 4S(8^x+1)dx = 4(8^x * 1/ln8 + x) + const = (4*8^x)/ln8 + 4x + const

Answer 2

Давайте вычислим данный интеграл. Интеграл имеет вид:

\[ \int_{8}^{x} (4 + 4 \cdot 8^{-x}) \, dx \]

Для решения интеграла раскроем скобки и произведем необходимые вычисления. Начнем с раскрытия скобок:

\[ \int_{8}^{x} 4 \, dx + \int_{8}^{x} 4 \cdot 8^{-x} \, dx \]

Теперь проинтегрируем каждое слагаемое по отдельности:

1. \[ \int 4 \, dx = 4x \] 2. \[ \int 4 \cdot 8^{-x} \, dx = -\frac{1}{\ln(8)} \cdot 4 \cdot 8^{-x} \]

Теперь подставим границы интегрирования и вычтем значение функции в нижней границе из значения функции в верхней границе:

\[ \left[ 4x - \frac{4}{\ln(8)} \cdot 8^{-x} \right]_{8}^{x} \]

Теперь подставим верхнюю и нижнюю границы:

\[ \left( 4x - \frac{4}{\ln(8)} \cdot 8^{-x} \right) \Big|_{8}^{x} \]

\[ = \left( 4x - \frac{4}{\ln(8)} \cdot 8^{-x} \right) - \left( 4 \cdot 8 - \frac{4}{\ln(8)} \cdot 8^{-8} \right) \]

\[ = 4x - \frac{4}{\ln(8)} \cdot 8^{-x} - 32 + \frac{4}{\ln(8)} \cdot 8^{-8} \]

Это и есть окончательный ответ. Если есть необходимость упростить дальше или выразить в каком-то другом виде, вы можете продолжить вычисления.