Question

(cosx+sinx)^2=cos2x Решите пожалуйста

Answer 1

$(cosx+sinx)^2=cos2x,\\cos^2x+2cosxsinx+sin^2x=cos^2x-sin^2x,\\2cosxsinx+2sin^2x=0,\ |:2,\\cosxsinx+sin^2x=0,\\sinx(cosx+sinx)=0,\\\\1)\ sinx=0,\\x=0+2\pi n=2\pi n,\ n\in Z,$

$2)\ cosx+sinx=0\ |:cosx\ne0,\ x\ne\frac{\pi}{2}+2\pi n,\ n\in Z\ (*),\\\\1+tgx=0,\\tgx=-1,\\x=\frac{3\pi}{4}+2\pi n,\ n\in Z.$

Ответ: $x=2\pi n,\ x=\frac{3\pi}{4}+2\pi n,\ n\in Z.$

Answer 2

Для решения данного уравнения, мы можем использовать тригонометрические тождества и алгебраические преобразования.

Начнем с раскрытия скобок в левой части уравнения: (cosx + sinx)^2 = cos^2(x) + 2cos(x)sin(x) + sin^2(x)

Затем мы можем заменить cos^2(x) + sin^2(x) на 1, так как это является тождественным тригонометрическим соотношением: 1 + 2cos(x)sin(x) = cos(2x)

Теперь мы можем решить уравнение, перенеся все члены на одну сторону: 2cos(x)sin(x) - cos(2x) + 1 = 0

Для дальнейшего решения, мы можем использовать замену: u = cos(x) v = sin(x)

Теперь уравнение преобразуется в: 2uv - cos(2x) + 1 = 0

Мы можем использовать тригонометрическое тождество для cos(2x): cos(2x) = 2cos^2(x) - 1

Подставляя это обратно в уравнение, получаем: 2uv - (2cos^2(x) - 1) + 1 = 0 2uv - 2cos^2(x) + 2 = 0 uv - cos^2(x) + 1 = 0

Теперь мы можем заменить cos^2(x) на 1 - sin^2(x): uv - (1 - sin^2(x)) + 1 = 0 uv + sin^2(x) = 0

Дальше мы можем использовать тождество sin^2(x) = 1 - cos^2(x): uv + 1 - cos^2(x) = 0 uv - cos^2(x) + 1 = 0

Теперь у нас есть тождество, которое мы получили на первом шаге. Это означает, что уравнение выполняется для любого значения x.

Итак, решение уравнения (cosx + sinx)^2 = cos2x является все значения x из действительных чисел.