Question

Даю 60 баллов Найди значение ctg 2⁡β, если cosβ = -15/7 и π/2 < β < π

Answer 1

Ответ: приложен

Объяснение:

cosβ = -15/7- такое  невозможно, скорее всего в знаменателе 17

Answer 2

Для того чтобы найти значение \( \operatorname{ctg}(2\beta) \), если \( \cos(\beta) = -\frac{15}{7} \) и \( \frac{\pi}{2} < \beta < \pi \), мы можем воспользоваться тригонометрическими тождествами.

Нахождение sin(β) и cos(β)

Сначала найдем значение \( \sin(\beta) \), используя тождество \( \sin^2(\beta) + \cos^2(\beta) = 1 \). Так как \( \cos(\beta) = -\frac{15}{7} \), то

\[ \sin^2(\beta) = 1 - \cos^2(\beta) \] \[ \sin^2(\beta) = 1 - \left(-\frac{15}{7}\right)^2 = 1 - \frac{225}{49} = \frac{49 - 225}{49} = -\frac{176}{49} \]

Так как \( \frac{\pi}{2} < \beta < \pi \), то \( \sin(\beta) < 0 \), поэтому \( \sin(\beta) = -\sqrt{-\frac{176}{49}} = -\frac{4\sqrt{11}}{7} \).

Нахождение tg(β) и ctg(β)

Теперь мы можем найти значение \( \tan(\beta) \), используя соотношение \( \tan(\beta) = \frac{\sin(\beta)}{\cos(\beta)} \):

\[ \tan(\beta) = \frac{-\frac{4\sqrt{11}}{7}}{-\frac{15}{7}} = \frac{4\sqrt{11}}{15} \]

Затем, используя тождество \( \operatorname{ctg}(\beta) = \frac{1}{\tan(\beta)} \), мы можем найти значение \( \operatorname{ctg}(\beta) \):

\[ \operatorname{ctg}(\beta) = \frac{1}{\tan(\beta)} = \frac{1}{\frac{4\sqrt{11}}{15}} = \frac{15}{4\sqrt{11}} = \frac{15\sqrt{11}}{44} \]

Нахождение ctg(2β)

Наконец, мы можем найти значение \( \operatorname{ctg}(2\beta) \), используя тригонометрическое тождество \( \operatorname{ctg}(2\beta) = \frac{1}{\tan(2\beta)} \). Чтобы найти \( \tan(2\beta) \), мы можем воспользоваться формулой для удвоенного угла:

\[ \tan(2\beta) = \frac{2\tan(\beta)}{1 - \tan^2(\beta)} = \frac{2 \cdot \frac{4\sqrt{11}}{15}}{1 - \left(\frac{4\sqrt{11}}{15}\right)^2} = \frac{8\sqrt{11}}{15 - 16 \cdot 11/225} = \frac{8\sqrt{11}}{15 - \frac{176}{225}} = \frac{8\sqrt{11}}{\frac{3375 - 176}{225}} = \frac{8\sqrt{11} \cdot 225}{3199} \]

Теперь мы можем найти \( \operatorname{ctg}(2\beta) \):

\[ \operatorname{ctg}(2\beta) = \frac{1}{\tan(2\beta)} = \frac{1}{\frac{8\sqrt{11} \cdot 225}{3199}} = \frac{3199}{8\sqrt{11} \cdot 225} = \frac{3199}{1800\sqrt{11}} \]

Таким образом, значение \( \operatorname{ctg}(2\beta) \) равно \( \frac{3199}{1800\sqrt{11}} \).

Итак, мы нашли значение \( \operatorname{ctg}(2\beta) \) при условии \( \cos(\beta) = -\frac{15}{7} \) и \( \frac{\pi}{2} < \beta <