Question

Решить уравнение и найти корни ,расположенные на заданных промежутках. Ответ пояснить в градусах. 1) ctg5x=ctg2x на (0градусах, 180градусах)2)sin (x- П/3)cos(7x+П/6)=0 на [55; 65] градусы3)cosквадрат x+3cosx=0 на [0;90] грвдусы4) 2sin(x+п/4)sin(x-п/4)=1 на [0;90] градусы р.s. Пожалуйста с объяснением. Я плохо понимаю эту тему. Зарание СПАСИБО

Answer 1

1) ctg5x=ctg2x на (0градусах, 180градусах)

ctg5x-ctg2x=0

-sin3x/sin5xsin2x=0

sin3x=0

x=Пk/3=60k градусы  (60; 120 градусов)

2)sin (x- П/3)cos(7x+П/6)=0 на [55; 65]  градусы

sin(x-П/3)=0   x-П/3=Пk  x=П/3+Пk   60 градусов

cos(7x+П/6)=0  7х+П/6=П/2+пk  7x=П/3+Пk  x=П/21+Пk/7 

3)cos^2 x+3cosx=0 на [0;90] грвдусы

cosx=0  x=90 градусы

4) 2sin(x+п/4)sin(x-п/4)=1 на [0;90] градусы

сos(п/2)-cos(2x)=1

cos2x=-1

2x=П  x=П/2=90 градусов

Answer 2

1) Для уравнения ctg5x=ctg2x на промежутке (0°, 180°) найдем сначала общее решение уравнения ctg5x=ctg2x. Преобразуем уравнение, используя тригонометрические тождества: ctg5x - ctg2x = 0 1/tg5x - 1/tg2x = 0 (tg2x - tg5x)/(tg2x*tg5x) = 0 tg2x - tg5x = 0 tg2x = tg5x

Теперь найдем общее решение уравнения tg2x = tg5x. tg2x = tg5x 2x = 5x + n*180°, где n - целое число -3x = n*180° x = -n*60°

Таким образом, общее решение уравнения ctg5x=ctg2x на промежутке (0°, 180°) имеет вид x = -60°, -120°.

2) Уравнение sin(x-π/3)cos(7x+π/6)=0 имеет корни при sin(x-π/3)=0 или cos(7x+π/6)=0. На промежутке [55°, 65°] угол x-π/3 лежит в диапазоне [55°-60°, 65°-60°]=[ -5°, 5°], а угол 7x+π/6 лежит в диапазоне [55°+60°, 65°+60°]=[ 115°, 125°].

Таким образом, на промежутке [55°, 65°] уравнение sin(x-π/3)=0 имеет корень x=π/3+180°k, где k - целое число, а уравнение cos(7x+π/6)=0 имеет корень 7x+π/6=90°+180°m, где m - целое число, откуда x=π/6+25°+180°m. Подставляя k и m, получаем корни на заданном промежутке.

3) Для уравнения cos^2(x) + 3cos(x) = 0 на промежутке [0°, 90°] найдем корни. Преобразуем уравнение, заменяя cos(x) = t: t^2 + 3t = 0 t(t + 3) = 0 Отсюда получаем два возможных значения t: t=0 и t=-3.

Таким образом, корни уравнения на промежутке [0°, 90°] имеют вид x = arccos(0) = 90°, x = arccos(-3) - нет решений, так как -1 <= cos(x) <= 1.

4) Уравнение 2sin(x+π/4)sin(x-π/4)=1 на промежутке [0°, 90°] имеет корни, так как sin(x) принимает значения от -1 до 1 на данном промежутке. Преобразуем уравнение, используя тригонометрические тождества: sin(x+π/4)sin(x-π/4)=1/2 (sin(x)cos(π/4) + cos(x)sin(π/4))(sin(x)cos(-π/4) - cos(x)sin(-π/4))=1/2 (sin(x) + cos(x))/√2 * (sin(x) - cos(x))/√2 = 1/2 (sin^2(x) - cos^2(x))/2 = 1/2 sin^2(x) - cos^2(x) = 1

Таким образом, уравнение сводится к уравнению sin^2(x) - cos^2(x) = 1, которое на промежутке [0°, 90°] имеет корни x = 45°.

Таким образом, найденные корни уравнений на заданных промежутках: 1) x = -60°, -120° 2) x = π/3+180°k, x=π/6+25°+180°m 3) x = 90° 4) x = 45°