Question

Знайдіть проміжки спадання функції g(x) = 2x3 + 3x2 - 12x.

Answer 1

Решение:

$g(x) = 2x^3 + 3x^2 - 12x\\\\g`(x) = 6x^2 + 6x - 12\\\\6x^2 + 6x - 12 = 0\\\\x^2 + x - 2 = 0 \\\\x_1 = 1\\\\x_2 = -2\\\\ (x-1)(x+2)=0 \\\\ .......+.................... .-.................+\\\\ -----(-2)-----(1)----->$

Знаки чередуються, так як у (х-1) и (х+2) мають непарний степінь: 1.

Так як ми шукаємо проміжки спадання, нам потрібен проміжок тільки с мінусом: [-2; 1]

Відповідь: функція спадає на [-2; 1]

Answer 2

Функція g(x) = 2x^3 + 3x^2 - 12x є кубічною функцією. Щоб знайти проміжки спадання цієї функції, ми можемо використовувати похідну функції.

Знаходження похідної:

Для знаходження похідної функції g(x), спочатку знаходимо похідні кожного члена функції окремо і додавайте їх разом. Згідно з правилами диференціювання, похідна кожного члена x^n буде n * x^(n-1), де n - це степінь x.

Тому, для функції g(x) = 2x^3 + 3x^2 - 12x, ми знаходимо похідну за допомогою правил диференціювання:

g'(x) = (2 * 3x^2) + (3 * 2x) - 12 = 6x^2 + 6x - 12

Знаходження точок перегину:

Точки перегину це ті значення x, де друга похідна функції змінює знак. Щоб знайти точки перегину, ми знаходимо другу похідну функції.

Для функції g(x) = 6x^2 + 6x - 12, знаходимо другу похідну:

g''(x) = 2 * 6x + 6 = 12x + 6

Друга похідна функції є лінійною функцією. Тепер ми можемо знайти точки, де друга похідна змінює знак. Ці точки будуть точками перегину функції g(x).

Знаходження проміжків спадання:

Проміжки спадання функції g(x) визначаються знаками похідної функції g'(x). Щоб знайти ці проміжки, ми розбиваємо вісь x на інтервали, де похідна функції має один і той самий знак.

Для цього ми можемо розв'язати нерівняння g'(x) < 0, щоб знайти проміжки, де функція спадає.

g'(x) = 6x^2 + 6x - 12 < 0

Щоб розв'язати це нерівняння, ми знаходимо корені квадратного рівняння, яке отримали:

6x^2 + 6x - 12 = 0

Використовуючи квадратне рівняння, ми знаходимо два корені: x = -2 і x = 1.

Таким чином, проміжки спадання функції g(x) = 2x^3 + 3x^2 - 12x є (-∞, -2) та (1, +∞).

Спадання функції відбувається на цих проміжках, тобто значення функції зменшуються при збільшенні значення x в цих інтервалах.