Question

Доведіть тотожність (1+tg²a)(1-cos²a)=tg²a.

Answer 1

Ответ:

решение смотри на фотографии

Answer 2

Для доведення тотожності (1 + tg²a)(1 - cos²a) = tg²a, ми можемо використати тригонометричні тотожності, зокрема тотожність синуса та косинуса, а також тотожність тангенса.

Почнемо звідси: 1 - cos²a = sin²a (Тотожність синуса та косинуса)

Тепер, ми можемо замінити (1 - cos²a) в початковій тотожності: (1 + tg²a)(1 - cos²a) = (1 + tg²a)(sin²a)

Далі, ми можемо використати тотожність тангенса: tg²a = sin²a / cos²a

Замінимо tg²a у виразі: (1 + sin²a / cos²a)(sin²a)

Потім, ми можемо розділити дробовий вираз на два окремих добутки: (1 / cos²a)(sin²a) + (sin²a / cos²a)(sin²a)

Скористаємося тотожністю тангенса ще раз: tg²a = sin²a / cos²a

Замінимо tg²a знову у виразі: (1 / cos²a)(sin²a) + (tg²a)(sin²a)

Наостанку, ми можемо спростити вираз, об'єднавши два доданки: (sin²a / cos²a) + (tg²a)(sin²a)

Знову використаємо тотожність тангенса: tg²a = sin²a / cos²a

Замінимо tg²a у виразі: (sin²a / cos²a) + (sin²a / cos²a)(sin²a)

Потім, ми можемо використати спільний знаменник: (sin²a + sin⁴a) / cos²a

Тепер, ми можемо спростити чисельник, застосувавши тотожність синуса: sin²a(1 + sin²a) / cos²a

Наостанку, ми отримуємо: tg²a(1 + sin²a) / cos²a

Зверніть увагу, що tg²a = sin²a / cos²a

Отже, (1 + tg²a)(1 - cos²a) = tg²a.

Таким чином, ми довели тотожність (1 + tg²a)(1 - cos²a) = tg²a.