Question

Заготовлена изгородь длиной 480м этой изгородью надо огородить с трек сторон примыкающий к реке участок какова должна быть ширина и длина участка чтобы его площадь была наибольшей при заданной длине изгородью

Answer 1

Ответ:

РЕШЕНИЕ:

S=AB·BC

Пусть АВ=х, тогда ВС= 480-2х

S(х) = х · (480 - 2х) = 480х - 2х2

D(х) = (0;240), т. к. S(х) > 0

480х – 2х2 > 0

2х · (240 – х) > 0

х1 = 0, х2 = 240

0 < х < 240

S? (x) = 480 - 4x

S? (x) = 0, 480 - 4x =0

x = 120

Т. о. Smax = S (120) = 28800м2 при АВ = 120м и ВС = 240м

Ответ: при ширине 120м и длине 240м площадь участка будет наибольшей.

АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ :

- определить исследуемую функцию;

- ввести переменную;

- установить область определения функции;

- вычислить max/min функции на заданном интервале.

ЗАДАЧА 2: Дан прямоугольный лист жести (АВ = 80см, ВС = 50см). Надо вырезать около всех углов одинаковые квадраты так, чтобы после загибания оставшихся кромок получилась открытая сверху коробка максимальной вместимости.

РЕШЕНИЕ:

V(x) = ( 80-2x)( 50-2x)x = 4x3 – 260x2 – 4000x

D(V) = (0;25), т. к. V(x) > 0

( 80-2x)( 50-2x)x > 0

x1 = 40, x2 = 25, x3 = 0

0 < x < 25

V′ (x) = 12x2 – 520x + 4000

V′ (x) = 0, 12x2 – 520x + 4000 = 0

3x2 – 130x + 1000 = 0

D = 4900

x1 = 10, x2 =

x1 Є (0;25)

Vmax (x) = V(10) = 1800см3

Ответ: Объем коробки будет максимальным, если сторона вырезаемого квадрата равна 10см.

ЗАДАЧА 3 : Пусть электрическая лампочка движется с помощью блока вдоль вертикальной прямой ОВ. На каком расстоянии от горизонтальной плоскости следует ее разместить, чтобы в точке А этой плоскости освещённость была наибольшей (ОА = а, ∟ОАВ = , ВА = r)?

РЕШЕНИЕ:

Пусть ВО = х, тогда ,  где 0 < х < + ∞

Значит,

Т. к. функция Е(х) имеет одну критическую точку, а в условии сказано, что существует положение лампочки, при котором освещенность в точке А наибольшая, то х является искомой точкой.

Ответ: для достижения наибольшей освещенности лампочка должна висеть на высоте .

ЗАДАЧА 4: Вписать в данный шар радиуса R цилиндр с наибольшей боковой поверхностью ( рассмотреть два способа решения).

(опережающее задание для учащихся, интересующихся математикой – формирование продуктивной творческой компетентности)

РЕШЕНИЕ :

І способ - геометрический

Sб = 2π , т. к.  то Sб = 2π

Рассмотрим и преобразуем выражение :

наибольшее=R4, когда

Тогда , а значит Sб = 2π.

Ответ: наибольшее значение Sб = , при .

ІІ способ - алгебраический

Sб = 2π

Т. К.  это Sб = 2π

Обозначим , тогда Sб = 2π

Рассмотрим , 0< х < 4

,

max = , т. о. Sб max = Sб ( ) = .

Ответ: искомый цилиндр имеет Sб = .

Объяснение:

Answer 2

Чтобы найти ширину и длину участка, при которых его площадь будет наибольшей при заданной длине изгороди, нам необходимо использовать математическую оптимизацию.

Пусть x - ширина участка, а y - длина участка. Тогда площадь S участка будет равна S = x * y.

У нас есть следующие условия: 1) Изгородь имеет длину 480 метров, то есть x + 2y = 480 (длина изгороди равна сумме длин трех сторон участка: двух боковых сторон и одной стороны, примыкающей к реке). 2) Нам нужно найти ширину и длину участка, при которых его площадь будет наибольшей. То есть нужно максимизировать функцию S = x * y при условии x + 2y = 480.

Для решения этой задачи воспользуемся методом подстановки. Из первого уравнения выразим x: x = 480 - 2y. Подставим это выражение во второе уравнение:

S = (480 - 2y) * y = 480y - 2y^2.

Теперь у нас есть функция S от одной переменной y. Чтобы найти максимальное значение S, найдем ее производную и приравняем ее к нулю:

dS/dy = 480 - 4y = 0.

Решим это уравнение относительно y:

480 - 4y = 0, -4y = -480, y = 120.

Подставим найденное значение y обратно в уравнение x = 480 - 2y:

x = 480 - 2 * 120 = 240.

Таким образом, ширина участка должна быть 240 метров, а длина - 120 метров, чтобы его площадь была наибольшей при заданной длине изгороди 480 метров.