Question

g По периметру участка прямоугольной формы, площадь которого 540 м² устанавливают декоративную ограду. Для двух противоположных сторон используют металлическую ограду. цена 1 м которой 30 рублей. Для двух других сторон - деревянную ограду по 50 руб. за 1 м. Каковы должны быть размеры участка, чтобы полная стоимость ограды была наименьшей? Дополнительные вопросы: "Как изменится математическая модель, описывающая полную стоимость декоративной оградки, если весь участок огородить металлической оградой, цена 1 м которой 40 рублей. Каковы оптимальные размеры такого участка?" Следующую задачу можно рекомендовать учащимся в качестве исследовательской домашней работы в течение некоторого времени.​

Answer 1

Задачу можно решить методом перебора. Мы знаем, что площадь прямоугольника равна произведению его длины и ширины, а периметр равен удвоенной сумме длины и ширины. Мы хотим минимизировать стоимость ограды, которая зависит от длины и ширины прямоугольника, а также от цены на металлическую и деревянную ограду.

Метод перебора заключается в том, что мы попробуем все возможные варианты длины и ширины, вычислим соответствующую стоимость ограды и выберем тот вариант, который дает наименьшую стоимость.

Для начала найдем возможные значения длины и ширины прямоугольника, которые дают площадь 540 м². Можно заметить, что 20 х 27 и 18 х 30 оба равны 540.

Давайте сначала рассчитаем стоимость ограды для варианта 20 х 27. Длина равна 27 м, ширина равна 20 м. Мы используем металлическую ограду длиной 27 м и деревянную ограду длиной 20 м. Стоимость металлической ограды: 27 м х 30 руб./м = 810 руб. Стоимость деревянной ограды: 20 м х 50 руб./м = 1000 руб. Общая стоимость ограды: 810 руб. + 1000 руб. = 1810 руб.

Теперь рассчитаем стоимость ограды для варианта 18 х 30. Длина равна 30 м, ширина равна 18 м. Мы используем металлическую ограду длиной 30 м и деревянную ограду длиной 18 м. Стоимость металлической ограды: 30 м х 30 руб./м = 900 руб. Стоимость деревянной ограды: 18 м х 50 руб./м = 900 руб. Общая стоимость ограды: 900 руб. + 900 руб. = 1800 руб.

Таким образом, видим, что наименьшая стоимость ограды достигается, когда длина равна 30 м, а ширина равна 18 м.

Answer 2

Для решения этой задачи оптимизации, давайте сначала определим математическую модель, описывающую полную стоимость декоративной ограды в зависимости от размеров участка.

Пусть длина участка будет "x" метров, а ширина участка будет "y" метров. Тогда площадь участка равна:

xy = 540 м²

Теперь давайте определим стоимость ограды. Для двух противоположных сторон используется металлическая ограда, цена которой 30 рублей за 1 метр. Для двух других сторон используется деревянная ограда, цена которой 50 рублей за 1 метр.

Стоимость металлической ограды для двух противоположных сторон:

2x * 30 рублей = 60x рублей

Стоимость деревянной ограды для двух других сторон:

2y * 50 рублей = 100y рублей

Таким образом, полная стоимость ограды равна сумме стоимости металлической и деревянной оград:

C(x, y) = 60x + 100y

Теперь мы хотим найти такие значения x и y, которые минимизируют эту функцию стоимости C(x, y), учитывая ограничение на площадь участка (xy = 540 м²).

Для решения этой задачи оптимизации можем воспользоваться методом множителей Лагранжа. Сначала сформулируем функцию Лагранжа:

L(x, y, λ) = 60x + 100y + λ(540 - xy)

Здесь λ - множитель Лагранжа, который учитывает ограничение на площадь.

Теперь найдем частные производные функции L по x, y и λ и приравняем их к нулю:

∂L/∂x = 60 - λy = 0 ∂L/∂y = 100 - λx = 0 ∂L/∂λ = 540 - xy = 0

Из первых двух уравнений получаем:

λ = 60/y λ = 100/x

Сравнив эти два выражения, мы можем найти x и y:

60/y = 100/x

Отсюда:

x/y = 100/60 = 5/3

Теперь мы можем использовать ограничение на площадь, чтобы найти одну из переменных, например, x:

xy = 540

x(5/3)x = 540

(5/3)x^2 = 540

x^2 = (3/5) * 540

x^2 = 324

x = √324

x = 18 метров

Теперь, зная x, мы можем найти y, используя соотношение x/y = 5/3:

18/y = 5/3

3 * 18 = 5y

54 = 5y

y = 54/5

y = 10.8 метров

Таким образом, оптимальные размеры участка, при которых полная стоимость ограды будет наименьшей, составляют 18 метров в длину и 10.8 метров в ширину.