Question

Нужно решить уравнение 4cos²x+8sinx-7=0, пожалуйста кто сможет

Answer 1

Ответ:

$\left [ \begin{array}{ccc} \large \boldsymbol {} x = \frac{\pi }{6} + 2\pi n, \ n \in Z \\\\ \large \boldsymbol {} x = \frac{5\pi }{6} + 2\pi n, \ n \in Z \end{array}\right$

ЗАДАНИЕ: решить уравнение 4cos²x + 8sinx - 7 = 0.

Решение:

4cos²x + 8sinx - 7 = 0

Известно, что:

sin²x + cos²x = 1

Выразим отсюда cos²х:

cos²x = 1 - sin²x

Подставим в уравнение:

4(1 - sin²x) + 8sinx - 7 = 0

Раскроем скобки:

4 - 4sin²x + 8sinx - 7 = 0

-4sin²x + 8sinx - 3 = 0 | *(-1)

4sin²x - 8sinx + 3 = 0

Пусть t = sinx, |t| ≤ 1, тогда:

4t² - 8t + 3 = 0

Найдем дискриминант, а затем корни уравнения:

D = b² - 4ac

D = (-8)² - 4 * 4 * 3 = 64 - 48 = 16

При D > 0 уравнение имеет два корня.

$t_{1} = \frac{8 - 4}{2 * 4} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}, \ togda \ sinx = \frac{1}{2}$

$t_{2} = \frac{8 + 4}{2 *4} = \frac{12}{8} =\frac{3}{2}, \ togda \ sinx = \frac{3}{2}$ - не подходит по условию, так как $-1 \leq sinx \leq 1$

$sinx = \frac{1}{2}$

$\left [ \begin{array}{ccc} \large \boldsymbol {} x = \frac{\pi }{6} + 2\pi n, \ n \in Z \\\\ \large \boldsymbol {} x = \frac{5\pi }{6} + 2\pi n, \ n \in Z \end{array}\right$

Answer 2

Для решения данного уравнения мы будем использовать замену sin(x) = t. Тогда cos(x) = sqrt(1 - t^2).

Подставляя значения в уравнение, получим: 4(sqrt(1 - t^2))^2 + 8t - 7 = 0.

Раскроем квадрат и упростим: 4(1 - t^2) + 8t - 7 = 0, 4 - 4t^2 + 8t - 7 = 0, -4t^2 + 8t - 3 = 0.

Делим все коэффициенты на -1, чтобы получить положительный коэффициент при t^2: 4t^2 - 8t + 3 = 0.

Далее, решаем это квадратное уравнение с помощью дискриминанта: D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 * 4 * 3 = 64 - 48 = 16.

D > 0, значит уравнение имеет два корня: t1 = (-b + sqrt(D)) / (2a) = (8 + 4) / 8 = 12 / 8 = 3 / 2 = 1.5, t2 = (-b - sqrt(D)) / (2a) = (8 - 4) / 8 = 4 / 8 = 1 / 2 = 0.5.

Теперь найдем значения sin(x), используя найденные значения t: sin(x) = 1.5, sin(x) = 0.5.

Однако, sin(x) не может быть больше 1, поэтому отбрасываем значение 1.5.

Используем обратную функцию sin^-1 для нахождения x: x = sin^-1(0.5) = π/6.

Таким образом, уравнение 4cos²x + 8sinx - 7 = 0 имеет единственное решение x = π/6.