Question

Найти кретические точки функции y=x^4-4x^3+4x^2+1

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

y'=4x³-12x²+8x=4x*(x²-3x+2)

x=0

x²-3x+2=0

x=(3+-1)/2

x=2

x=1

Answer 2

Для нахождения критических точек функции `y = x^4 - 4x^3 + 4x^2 + 1`, мы должны начать с вычисления её производной. Производная функции позволяет нам определить, где функция имеет экстремумы или точки перегиба.

Вычисление производной функции

Для нашей функции `y = x^4 - 4x^3 + 4x^2 + 1`, возьмём производную от `y` по `x`:

dy/dx = 4x^3 - 12x^2 + 8x

Нахождение критических точек

Критические точки функции находятся там, где производная равна нулю или не определена. Давайте приравняем производную к нулю и решим уравнение:

4x^3 - 12x^2 + 8x = 0

Факторизуем это уравнение:

4x(x^2 - 3x + 2) = 0

Теперь мы можем найти значения `x`, которые удовлетворяют этому уравнению:

1) `4x = 0` - здесь `x = 0`. 2) `(x^2 - 3x + 2) = 0` - это квадратное уравнение, которое можно разложить на множители: `(x - 1)(x - 2) = 0`. Здесь `x = 1` и `x = 2`.

Таким образом, у нас есть три критические точки: `x = 0`, `x = 1` и `x = 2`.

Определение типа критических точек

Чтобы определить тип каждой критической точки (минимум, максимум или точка перегиба), мы можем использовать вторую производную тест.

Вычислим вторую производную функции:

d^2y/dx^2 = 12x^2 - 24x + 8

Определение типа критической точки x = 0

Подставим `x = 0` во вторую производную:

d^2y/dx^2 (x = 0) = 12(0)^2 - 24(0) + 8 = 8

Так как вторая производная положительна (`8 > 0`), то критическая точка `x = 0` является минимумом.

Определение типа критической точки x = 1

Подставим `x = 1` во вторую производную:

d^2y/dx^2 (x = 1) = 12(1)^2 - 24(1) + 8 = -4

Так как вторая производная отрицательна (`-4 < 0`), то критическая точка `x = 1` является максимумом.

Определение типа критической точки x = 2

Подставим `x = 2` во вторую производную:

d^2y/dx^2 (x = 2) = 12(2)^2 - 24(2) + 8 = 16

Так как вторая производная положительна (`16 > 0`), то критическая точка `x = 2` является минимумом.

Итоговый ответ

Таким образом, у функции `y = x^4 - 4x^3 + 4x^2 + 1` есть два минимума (в точках `x = 0` и `x = 2`) и один максимум (в точке `x = 1`).