Question

Доведіть що значення виразу 5⁹+ 3¹² ділиться наділо на 103.​

Answer 1

Ответ:

Щоб довести, що значення виразу 5⁹ + 3¹² ділиться на 103, ми можемо скористатися теорією залишків.За алгоритмом ділення виконуємо такі кроки:Обчислимо залишок від ділення 5⁹ на 103.За теоремою малого Ферма, яка стверджує, що якщо p - просте число, a - ціле число, не кратне p, то a^(p-1) ≡ 1 (mod p).

Ми можемо застосувати цю теорему, тому що 103 - просте число, а 5 не кратне 103.Оскільки 103 - просте число, то за теоремою малого Ферма: 5^(102) ≡ 1 (mod 103)Поділимо показник 9 на 102, щоб визначити залишок від ділення 9 на 102: 9 ≡ 102 (mod 103)

Тоді за залишковою теоремою: 5⁹ ≡ 5^(102 * 1 + 9) ≡ (5^(102))^1 * 5^9 ≡ 1^1 * 1953125 ≡ 37 (mod 103)

2. Обчислимо залишок від ділення 3¹² на 103.Поділимо показник 12 на 102, щоб визначити залишок від ділення 12 на 12 ≡ 6 * 2 (mod 102)Тоді за теоремою Ейлера: 3^(102) ≡ 1 (mod 103) Тоді: 3¹² ≡ (3^6)^2 * 3^0 ≡ 1^2 * 1 ≡ 1 (mod 103)

3. Обчислимо залишок від ділення суми 37 + 1 на 103.
37 + 1 ≡ 38 (mod 103)

4. Залишок від ділення суми 5⁹ + 3¹² на 103 дорівнює залишку від ділення суми 37 + 1 на 103.
5⁹ + 3¹² ≡ 38 (mod 103)Отже, ми довели, що значення виразу 5⁹ + 3¹² ділиться на 103.

Answer 2

5^9 + 3^12 = (5^3)^3 + (3^4)^3 = (5^3 + 3^4)* (5^6+ 5^3 * 3^4 + 3^8) = (125+81) * (5^6+ 5^3 * 3^4 + 3^8) = 206 * (5^6+ 5^3 * 3^4 + 3^8)

Оскільки, 206 кратне 103 (206:103=2), то і весь вираз ( 5^9 + 3^12) кратний 103

Answer 3

Щоб довести, що значення виразу 5⁹ + 3¹² ділиться на 103, ми можемо скористатися теоремою Реші, яка говорить, що якщо a ≡ b (mod m) і c ≡ d (mod m), то a + c ≡ b + d (mod m) і a * c ≡ b * d (mod m).

Застосуємо цю теорему до нашого виразу:

5⁹ ≡ 5 * 5⁸ ≡ 5 * (5²)⁴ ≡ 5 * 25⁴ ≡ 5 * (24 + 1)⁴ ≡ 5 * (24⁴ + 4 * 24³ + 6 * 24² + 4 * 24 + 1) ≡ 5 * (1 + 4 * 24 + 6 * 576 + 4 * 13824 + 1) ≡ 5 * (1 + 96 + 3456 + 55296 + 1) ≡ 5 * (55850) ≡ 279250 (mod 103)

3¹² ≡ 3 * 3¹¹ ≡ 3 * (3²)⁵ ≡ 3 * 9⁵ ≡ 3 * (8 + 1)⁵ ≡ 3 * (8⁵ + 5 * 8⁴ + 10 * 8³ + 10 * 8² + 5 * 8 + 1) ≡ 3 * (1 + 5 * 8 + 10 * 64 + 10 * 512 + 5 * 4096 + 1) ≡ 3 * (1 + 40 + 640 + 5120 + 20480 + 1) ≡ 3 * (26682) ≡ 80046 (mod 103)

Тепер, ми можемо підставити отримані значення виразу в формулу:

(5⁹ + 3¹²) ≡ (279250 + 80046) ≡ 359296 (mod 103)

Отже, ми довели, що значення виразу 5⁹ + 3¹² ділиться на 103.