Question

При яких значеннях а система рівнянь ax+2y=12, 7x-6y=-36 має єдиний розв'язок

Answer 1

Відповідь: Система рівнянь ax + 2y = 12 та 7x - 6y = -36 має єдиний розв'язок, коли вона є системою лінійних незалежних рівнянь. Це можливо, коли коефіцієнти при змінних x та y не рівні нулю одночасно та не мають спільного множника.

Також, можна скористатися формулою Крамера та перевірити, чи є визначник матриці системи ненульовим. Якщо визначник не рівний нулю, то система має єдиний розв'язок. Формула Крамера для цієї системи матиме вигляд:

x = (12*(-6) - 2*(-36)) / (a*(-6) - 27)

y = (a(-36) - 712) / (a(-6) - 2*7)

Якщо знаменник у цих формулах не рівний нулю, то система має єдиний розв'язок.

Пояснення:

Answer 2

Система лінійних рівнянь може мати єдиний розв'язок, коли вона відповідає умовам системи лінійних рівнянь з єдиним розв'язком.

У даному випадку маємо систему рівнянь: \[ \begin{align*} ax + 2y &= 12, \quad (1) \\ 7x - 6y &= -36. \quad (2) \end{align*} \]

Щоб система мала єдиний розв'язок, детермінант основної матриці системи повинен бути відмінним від нуля, тобто: \[ \begin{vmatrix} a & 2 \\ 7 & -6 \end{vmatrix} \neq 0. \]

Обчислимо цей детермінант: \[ \begin{vmatrix} a & 2 \\ 7 & -6 \end{vmatrix} = a \cdot (-6) - 2 \cdot 7 = -6a - 14. \]

Тепер встановимо умову, за якої система має єдиний розв'язок: \[ -6a - 14 \neq 0. \]

Розв'яжемо цю нерівність для знаходження значень параметра \(a\): \[ -6a \neq 14 \implies a \neq -\frac{14}{6}. \]

Спростимо дріб і отримаємо: \[ a \neq -\frac{7}{3}. \]

Таким чином, система рівнянь \(ax + 2y = 12, \, 7x - 6y = -36\) має єдиний розв'язок при будь-яких значеннях параметра \(a\), за виключенням \(a = -\frac{7}{3}\).