Question

Чому дорівнює значення похідної функції f(x)=(1+3x)√x у точці х нульове=9

Answer 1

$f(x) = (1 + 3x) \sqrt{x} \\ f '(x) = ((1 + 3x) \sqrt{x}) ' = (1 + 3x) '\sqrt{x} + (1 + 3x) \sqrt{x}' = \\ = ( 1' + (3x)') \sqrt{x} + (1 + 3x) {x}^{ \frac{1}{2}'} \\ = (0 + 3) \sqrt{x} + \frac{1}{2} {x}^{ - \frac {1}{2} } = \\ = 3 \sqrt{x} + \frac{1}{2} \times \frac{1}{ \sqrt{x} } = 3 \sqrt{x} + \frac{1}{2 \sqrt{x} }$

Answer 2

Щоб знайти значення похідної функції \( f(x) = (1 + 3x)\sqrt{x} + y \) у точці \( x = 9 \), потрібно використовувати правило диференціювання складеної функції (також відоме як правило ланцюгового правила).

Давайте розглянемо кожен компонент функції окремо:

1. \( g(x) = 1 + 3x \) 2. \( h(x) = \sqrt{x} \)

Функція \( f(x) \) має вигляд \( f(x) = g(x) \cdot h(x) + y \). Тепер знайдемо похідні кожного компонента та скористаємося правилом ланцюгового правила:

1. Знайдемо \( g'(x) \): \[ g'(x) = \frac{d}{dx}(1 + 3x) = 3 \]

2. Знайдемо \( h'(x) \): \[ h'(x) = \frac{d}{dx}(\sqrt{x}) = \frac{1}{2\sqrt{x}} \]

Тепер скористаємося правилом ланцюгового правила: \[ f'(x) = g'(x) \cdot h(x) + g(x) \cdot h'(x) \]

Підставимо значення \( x = 9 \) у вираз:

\[ f'(9) = 3 \cdot \sqrt{9} + (1 + 3 \cdot 9) \cdot \frac{1}{2\sqrt{9}} \]

Спростимо вираз:

\[ f'(9) = 3 \cdot 3 + 28 \cdot \frac{1}{6} \] \[ f'(9) = 9 + \frac{14}{3} \]

Отже, значення похідної функції \( f'(x) \) у точці \( x = 9 \) дорівнює \( \frac{41}{3} \).