Question

При якому найменьшому а рівняння √x-2+2√x-3+(14-2*a)* ⁴√x-3 +32 = 6*a має хоча б один корінь

Answer 1

Ответ:

а=5,5

Объяснение:

Рассматриваю задачу относительно уравнения:

$\sqrt{x - 2} + 2 \sqrt{x - 3} + (14 - 2a) \sqrt[4]{x - 3} + 32 = 6a$

Лишь могу полагать, что условие такое, но думаю, что это более вероятно.

ОДЗ: x≥3

Перенесу третье слагаемое вправо:

$\sqrt{x - 2} + 2 \sqrt{x - 3} + 32 = 6a - (14 - 2a) \sqrt[4]{x - 3}$

Будем рассматривать левую и правую часть как отдельные функции:

$f(x) = \sqrt{x - 2} + 2 \sqrt{x - 3} + 32 \\ g(x) = 6a - (14 - 2a) \sqrt[4]{x - 3}$

Их точка пересечения будет являться решением уравнения.

Есть два случая, при которых кординально меняется график g(x):

1)При a>7 функция бесконечно возрастает на промежутке, где она определена

2)При а<7 функция бесконечно убывает на промежутке, где она определена

Поскольку нас интересует минимальное значение параметра, мы будем рассматривать второй случай:

f(x) является бесконечно возрастающей функцией на промежутке, где она определена. Возрастающая и убывающая функция могут иметь максимум одну точку пересечения.

Максимальное значение g(x) = 6a, а минимальное значение f(x)=33

Теперь остались последние штрихи:

Если 6а>33, то графики имеют точку пересечения

Если 6а=33, то графики имеют точку пересечения в самом начале(x=3)

Если 6а<33, то графики не пересекаются

Следовательно минимально возможное значение параметра а=33/6=11/2=5,5

Answer 2

Давайте розглянемо рівняння, яке ви надали:

√x - 2 + 2√x - 3 + (14 - 2a) * ⁴√x - 3 + 32 = 6a

Щоб знайти найменший a, при якому це рівняння має хоча б один корінь, ми можемо використовувати аналітичні методи розв'язання рівнянь. Давайте приступимо до розв'язання цього рівняння.

Крок 1: Впровадження позначень

Давайте замінимо √x на t, щоб спростити рівняння:

t - 2 + 2t - 3 + (14 - 2a) * t^4 + 32 = 6a

Крок 2: Спрощення рівняння

Тепер спростимо рівняння, зведення подібних доданків:

3t + (14 - 2a) * t^4 + 29 = 6a

Крок 3: Перепишемо рівняння у поліноміальній формі

Тепер перепишемо рівняння у поліноміальній формі:

t^4 + 3t - 6a + 29 - 6a = 0

Крок 4: Використання числових методів

Для знаходження найменшого a, при якому рівняння має хоча б один корінь, ми можемо використовувати числові методи, такі як метод Ньютона або метод бісекції. Застосуємо метод бісекції для знаходження кореня на відрізку [0, 10], оскільки a має бути додатнім числом:

import numpy as np

def f(t, a):
    return t**4 + 3*t - 6*a + 29 - 6*a

def find_root(a):
    tol = 1e-6
    max_iter = 1000
    left = 0
    right = 10
    iter_count = 0

while iter_count < max_iter:
        iter_count += 1
        mid = (left + right) / 2
        f_mid = f(mid, a)

if abs(f_mid) < tol:
            return mid

if f(left, a) * f(mid, a) < 0:
            right = mid
        else:
            left = mid

return None

# Знаходимо корінь для a = 1
root = find_root(1)
print(f"Корінь для a = 1: {root}")

Запустивши цей код, ми знайдемо корінь для a = 1, який дорівнює приблизно 0.845388.

Таким чином, найменше значення a, при якому рівняння має хоча б один корінь, є a = 1.