Question

Корені рівняння х²+mt+n=0 дорівнюють х1 і х2, скласти квадратне рівняння, корені якого дорівнюють x1/3 і x2/3

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

Известно, что корни уравнения x² + mt + n = 0 равны x₁ и x₂. Мы можем использовать эти корни, чтобы составить квадратное уравнение с корнями x₁/3 и x₂/3.

Сумма корней уравнения x² + mt + n = 0 равна:

x₁ + x₂ = -m (по формуле Виета)

Разность корней уравнения равна:

x₁ - x₂ = √(m² - 4n)

Так как нам нужно составить квадратное уравнение с корнями x₁/3 и x₂/3, мы можем записать:

(3x₁)^2 + k(3x₁) + p = 0

(3x₂)^2 + k(3x₂) + p = 0

где k и p - коэффициенты этого уравнения, которые мы должны найти.

Решая эти уравнения, мы получим:

9x₁² + 3kx₁ + p = 0

9x₂² + 3kx₂ + p = 0

Мы знаем, что x₁ + x₂ = -m и x₁ - x₂ = √(m² - 4n). Решая эти уравнения относительно x₁ и x₂, мы получаем:

x₁ = (-m + √(m² - 4n))/2

x₂ = (-m - √(m² - 4n))/2

Заменяем x₁ и x₂ в уравнениях на их значения и упрощаем:

9(-m + √(m² - 4n))^2/4 + 3k(-m + √(m² - 4n))/3 + p = 0

9(-m - √(m² - 4n))^2/4 + 3k(-m - √(m² - 4n))/3 + p = 0

Упрощаем выражения:

9(m² - 2m√(m² - 4n) + (m² - 4n))⁄4 - km + k√(m² - 4n) + 3p = 0

9(m² + 2m√(m² - 4n) + (m² - 4n))⁄4 - km - k√(m² - 4n) + 3p = 0

Складываем эти два уравнения и получаем:

9m² - 8n - 4km + 6p = 0

Таким образом, квадратное уравнение с корнями x₁/3 и x₂/3 имеет вид:

9x² - 12mx + (18m² - 32n) = 0

Ответ: квадратное уравнение с корнями x₁/3 и x₂/3 имеет вид 9x² - 12mx + (18m² - 32n) = 0.

Answer 2

Для початку, давайте розберемося з рівнянням, яке має корені х₁ і х₂: х² + mt + n = 0.

Щоб скласти квадратне рівняння з коренями х₁/3 і х₂/3, ми можемо скористатися наступними властивостями квадратних рівнянь:

1. Якщо рівняння має корінь х, то (x - х₀) є одним з його множників, де х₀ - це значення кореня.

2. Якщо рівняння має корені х₁ і х₂, то воно може бути записано у вигляді (x - х₁)(x - х₂) = 0.

Отже, ми можемо скласти квадратне рівняння з коренями х₁/3 і х₂/3, застосовуючи ці властивості. Давайте замінимо х₁/3 на х₁ і х₂/3 на х₂:

(x - х₁/3)(x - х₂/3) = 0

Тепер нам потрібно привести це рівняння до стандартного вигляду, розкривши дужки:

(x - х₁/3)(x - х₂/3) = 0 (x - х₁/3) * (x - х₂/3) = 0 x² - (х₁ + х₂)/3 * x + х₁х₂/9 = 0

Таким чином, квадратне рівняння з коренями х₁/3 і х₂/3 має вигляд:

x² - (х₁ + х₂)/3 * x + х₁х₂/9 = 0

Це є квадратне рівняння, яке має корені х₁/3 і х₂/3.