Question

Сере- 5. У трикутнику ABC ZC=90º, AC=BC=16см, дина А.С. Через точку К проведено пряму, перпендикулярну до катега С, яка перетинає гіпотенузу АВ в точці Р. Знайдіть довжину вiдрiзка KP. -

Answer 1

Ответ:

Для решения задачи воспользуемся теоремой Пифагора для прямоугольного треугольника ABC:

AB² = AC² + BC²

16² = AC² + 16²

AC² = 16² - 16²/2 = 128

AC = BC = 16 см

Заметим, что треугольник APB также является прямоугольным, так как угол A = 90°, а значит, мы можем использовать теорему Пифагора для него:

AP² + PB² = AB²

Так как AP = PB (так как точка P находится на середине гипотенузы), то:

2AP² = AB²

AP² = AB² / 2 = 16²

AP = PB = 4√2 см

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник AKC:

КП² + АР² = АК²

Заметим, что АР = PB = 4√2 см, а также угол КСР прямой (так как КС перпендикулярна СР), поэтому угол КПР тоже прямой. Значит, треугольник КПР также является прямоугольным.

Таким образом, мы можем воспользоваться теоремой Пифагора для треугольника КПР:

КП² + АР² = АК²

КП² + (4√2)² = 16²

КП² + 32 = 256

КП² = 224

КП = 4√14 см

Итак, длина отрезка KP равна 4√14 см.

Объяснение:

Answer 2

Для розв'язання цієї задачі нам потрібно знайти довжину відрізка KP в трикутнику ABC, де ZC = 90º, AC = BC = 16 см, і через точку К проведено пряму, перпендикулярну до катета С, яка перетинає гіпотенузу AB в точці Р.

Знайдення довжини KP:

Для знаходження довжини KP, нам потрібно використати властивості подібних трикутників. Зауважимо, що трикутники ABC і CKP є подібними, оскільки мають спільний кут при вершині С і прямі кути при вершині К.

За властивостями подібних трикутників, співвідношення довжин сторін подібних трикутників дорівнює співвідношенню довжин відповідних сторін. Тому ми можемо записати:

AC / CK = BC / KP

Замінюючи відомі значення, отримуємо:

16 / CK = 16 / KP

Ми можемо спростити це рівняння, помноживши обидві його частини на CK:

16 = CK * KP

Тепер нам потрібно знайти значення CK. За умовою задачі, CK - це довжина прямої, перпендикулярної до катета С, яка перетинає гіпотенузу AB в точці Р. Оскільки ZC = 90º, то трикутник ZCR є прямокутним трикутником, і ми можемо використати теорему Піфагора, щоб знайти довжину CK.

Знайдення довжини CK:

За теоремою Піфагора, в прямокутному трикутнику ZCR, сума квадратів довжин катетів дорівнює квадрату довжини гіпотенузи. Тому ми можемо записати:

AC^2 + CR^2 = AR^2

Замінюючи відомі значення, отримуємо:

16^2 + CR^2 = AR^2

Спрощуючи це рівняння, отримуємо:

256 + CR^2 = AR^2

Також ми знаємо, що CR = KP, оскільки пряма, перпендикулярна до катета С, перетинає гіпотенузу AB в точці Р. Тому ми можемо записати:

256 + KP^2 = AR^2

Тепер нам потрібно знайти значення AR. За умовою задачі, AR - це довжина гіпотенузи трикутника ZCR. Оскільки ми знаємо, що ZC = 90º, то трикутник ZCR є прямокутним трикутником, і ми можемо використати теорему Піфагора, щоб знайти довжину AR.

Знайдення довжини AR:

За теоремою Піфагора, в прямокутному трикутнику ZCR, сума квадратів довжин катетів дорівнює квадрату довжини гіпотенузи. Тому ми можемо записати:

ZC^2 + CR^2 = ZR^2

Замінюючи відомі значення, отримуємо:

16^2 + CR^2 = ZR^2

Спрощуючи це рівняння, отримуємо:

256 + CR^2 = ZR^2

Також ми знаємо, що ZR = AR, оскільки ZR - це гіпотенуза трикутника ZCR, а AR - це гіпотенуза трикутника ZAR. Тому ми можемо записати:

256 + CR^2 = AR^2

Тепер у нас є два рівняння, які містять змінну AR:

1. 256 + KP^2 = AR^2 2. 256 + CR^2 = AR^2

Ми можемо вирішити цю систему рівнянь, віднімаючи друге рівняння від першого:

(256 + KP^2) - (256 + CR^2) = AR^2 - AR^2

Спрощуючи це рівняння, отримуємо:

KP^2 - CR^2 = 0

Факторизуючи ліву частину, отримуємо:

(KP - CR)(KP + CR) = 0

З цього рівняння ми бачимо, що KP - CR = 0 або KP + CR = 0. Оскільки KP і CR - це довжини відрізків, вони не можуть бути рівними нулю. Тому ми можемо записати:

KP + CR = 0

З цього рівняння ми бачимо, що KP = -CR. Оскільки довжина відрізка не може бути від'ємною, ми можемо виключити цей випадок.

Таким чином, ми отримуємо:

KP = CR

Отже, довжина відрізка KP дорівнює довжині відрізка CR. Оскільки CR - це довжина прямої, перпендикулярної до катета С, яка перетинає гіпотенузу AB в точці Р, ми можемо записати:

KP = CR = RP

Таким чином, довжина відрізка KP дорівнює довжині відрізка RP.

Отже, ми знайшли, що довжина відрізка KP дорівнює довжині відрізка RP.