Question

Три числа x1, x2, x3 утворюють зростаючу арифметичну прогресію. 1) Знайдіть х2, якщо сума цієї прогресії дорівнює 12. 2) Якщо до х1 і хз додати по 1, a x2 залишити без змін, то отримаємо геометричну прогресію. ​

Answer 1

Ответ:

Нехай загальна різниця арифметичної прогресії дорівнює d. тоді ми маємо:

x2 = x1 + d

x3 = x1 + 2d

Сума арифметичної прогресії задається формулою:

x1 + x2 + x3 = 3x2

Підставляючи вирази для x2 і x3, ми отримуємо:

x1 + (x1 + d) + (x1 + 2d) = 3(x1 + d)

Спрощуючи, ми отримуємо:

3x1 + 3d = 3x1 + 3d

Це рівняння виконується для будь-яких значень x1 і d, оскільки ліва і права частини рівні. Однак нам дано, що сума арифметичної прогресії дорівнює 12. Отже, у нас є:

x1 + x2 + x3 = 12

Підставляючи вираз для x2, ми отримуємо:

x1 + (x1 + d) + (x1 + 2d) = 12

Спрощуючи, ми отримуємо:

3x1 + 3d = 12

Ділячи на 3, ми отримуємо:

x1 + d = 4

Підставляючи вираз для x2, ми отримуємо:

x2 = x1 + d = 4 - d

Отже, значення x2 залежить від значення d. ми не можемо визначити x2 без додаткової інформації про значення d.

Якщо додати 1 до x1 і x3 і залишити x2 незмінним, ми отримаємо:

x1 + 1 = x2

x3 + 1 = x2 + d

Це утворює геометричну прогресію із загальним співвідношенням r, оскільки:

(x1 + 1) * r = x2

x2 * r = x3 + 1

Підставляючи вирази для x2 і x3, ми отримуємо:

(x1 + 1) * r = x1 + d

(x1 + d) * r = x1 + 1 + d

Розділивши друге рівняння на перше рівняння, ми отримуємо:

r = (x1 + 1 + d) / (x1 + d)

Оскільки загальне відношення геометричної прогресії не може дорівнювати нулю, ми повинні мати:

x1 + d ≠ -1

Спрощуючи вираз для r, ми отримуємо:

r = 1 + 1 / (x1 + d)

Answer 2

1. Для арифметичної прогресії сума перших n членів обчислюється за формулою:

Sn = (n/2)(2a + (n - 1)d),

де Sn - сума перших n членів прогресії, a - перший член прогресії, d - різниця прогресії.

У нашому випадку ми знаємо, що сума прогресії дорівнює 12, тому можемо записати:

12 = (3/2)(2x1 + (3 - 1)d).

Спростивши це рівняння, маємо:

12 = (3/2)(2x1 + 2d).

Далі ми можемо скористатись другим рівнянням для знаходження d.

2. Якщо до x1 і x3 додати по 1, а x2 залишити без змін, то отримаємо геометричну прогресію. Це означає, що відношення між x2 і x1 таке саме, як відношення між x3 і x2.

Математично це можна записати так:

(x2 - 1)/x1 = x3/x2.

З цього рівняння ми можемо виразити x3:

x3 = x2^2 / x1.

Тепер, застосовуючи знайдене значення x3 до першого рівняння, ми зможемо знайти відповідь на перше питання.