Question

Доведіть що функція f(x)=6-6x+3x²-2x³ спадає на множині дійсних чисел ​

Answer 1

Відповідь:

Пояснення:

Answer 2

Для доведення, що функція f(x) = 6 - 6x + 3x² - 2x³ є спадною на множині дійсних чисел, ми можемо дослідити знак похідної цієї функції.

Спочатку знайдемо похідну функції f(x): f'(x) = -6 + 6x + 6x - 6x² = -6 + 12x - 6x².

Тепер дослідимо знак похідної на множині дійсних чисел. Для цього розкладемо похідну на множники: f'(x) = -6 + 12x - 6x² = -6(1 - 2x + x²) = -6(1 - x)².

Ми бачимо, що множник (1 - x)² завжди є додатнім на множині дійсних чисел. Таким чином, знак похідної f'(x) залежить від множника -6.

Оскільки множник -6 є від'ємним, то знак похідної f'(x) буде протилежним до знаку множника -6 на множині дійсних чисел. Тобто, якщо множник -6 дорівнює від'ємному числу, то похідна f'(x) буде позитивною, і навпаки, якщо множник -6 дорівнює додатньому числу, то похідна f'(x) буде від'ємною.

Оскільки множник -6 є від'ємним, то похідна f'(x) буде позитивною на множині дійсних чисел.

Згідно з теоремою про зв'язок між знаком похідної та монотонністю функції, якщо похідна функції є позитивною на множині дійсних чисел, то сама функція є спадною на цій множині.

Таким чином, функція f(x) = 6 - 6x + 3x² - 2x³ є спадною на множині дійсних чисел.