Question

Доведіть, що якщо функція y=f(x) зростає на множині Р, то функція у=-f(x) спадає на множині Р.

Answer 1

Ответ:

Объяснение: см.  доказательство в файле ниже.

Answer 2

Для того, щоб довести, що якщо функція $y = f(x)$ зростає на множині $P$, то функція $y = -f(x)$ спадає на тій самій множині $P$, ми використовуємо визначення зростання та спадання функцій.

1. Функція $y = f(x)$ зростає на множині $P$, якщо для будь-яких двох точок $x_1$ і $x_2$ з $P$ таких, що $x_1 < x_2$, виконується нерівність $f(x_1) \leq f(x_2)$. Це означає, що значення функції збільшується зі збільшенням аргументу на множині $P$.

2. Функція $y = -f(x)$ спадає на множині $P$, якщо для будь-яких двох точок $x_1$ і $x_2$ з $P$ таких, що $x_1 < x_2$, виконується нерівність $-f(x_1) \geq -f(x_2)$. Ми можемо переписати цю нерівність у вигляді $f(x_1) \leq f(x_2)$ після множення обох сторін на -1.

Отже, ми бачимо, що визначення зростання функції $y = f(x)$ та спадання функції $y = -f(x)$ на множині $P$ ідентичні. Тобто, якщо $f(x)$ зростає на множині $P$, то $y = -f(x)$ спадає на тій самій множині $P$.