Question

Доведіть, що функція f (x)=-3x³++x²-2x+12 спадає на множині дійсних чисел.

Answer 1

V=-3x3+x'
2_2x+12
■ y=X
Область определения
XER
Область значений
yeR
Пересечение с осью ординат
(0,12)
Корень
(0,0)
Область определения
XER
Область значений
yER
Пересечение с осью ординат
(0,0)

Answer 2

Щоб довести, що функція f(x) = -3x³ + x² - 2x + 12 спадає на множині дійсних чисел, нам потрібно перевірити, що її похідна є невід'ємною на цій множині. Якщо похідна функції завжди невід'ємна, то функція сама спадає.

Спочатку знайдемо похідну функції f(x):

f'(x) = d/dx(-3x³ + x² - 2x + 12)

Для обчислення похідної застосуємо правила диференціювання:

f'(x) = -9x² + 2x - 2

Тепер ми хочемо переконатися, що ця похідна є невід'ємною для всіх значень x.

Зауважте, що це квадратична функція, і вона представляється у вигляді a * x² + b * x + c. Для визначення знака такої функції можна використовувати дискримінант (D = b² - 4ac).

В нашому випадку: a = -9, b = 2, c = -2.

D = (2)² - 4 * (-9) * (-2) = 4 - 72 = -68.

Дискримінант від'ємний, що означає, що квадратична функція -9x² + 2x - 2 не має дійсних коренів. Це означає, що ця функція не змінює свій знак, тобто вона завжди залишається невід'ємною або невід'ємною.

Оскільки похідна f(x) = -9x² + 2x - 2 завжди невід'ємна, це означає, що функція f(x) = -3x³ + x² - 2x + 12 також спадає на множині дійсних чисел.