Question

Дано арифметичну прогресію (аn). Знайдіть її перший член і n, якщо d = 3, an = 23, Sn = 85

Answer 1

Ответ: a₁=11,   n=5.

Объяснение:

$></p><p><img src=$

Answer 2

Дано арифметичну прогресію \((a_n)\) з першим членом \(a\) і різницею \(d\). Формула для знаходження \(n\)-го члена прогресії виглядає так:

\[ a_n = a + (n-1)d \]

Також у вас є сума перших \(n\) членів прогресії \(S_n\), яку можна знайти за формулою:

\[ S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d] \]

У вас дані:

\[ a_n = 23, \quad S_n = 85, \quad d = 3 \]

Щоб знайти перший член \(a\) і номер члена \(n\), ми можемо використовувати наступні рівняння:

1. З формули \(a_n = a + (n-1)d\), підставимо відомі значення:

\[ 23 = a + (n-1) \cdot 3 \]

2. З формули суми прогресії \(S_n\):

\[ 85 = \frac{n}{2}[2a + (n-1) \cdot 3] \]

Розглянемо перше рівняння:

\[ 23 = a + 3n - 3 \]

Приберемо 3 з обох боків:

\[ 26 = a + 3n \]

Тепер розглянемо друге рівняння:

\[ 85 = \frac{n}{2}[2a + 3n - 3] \]

Спростимо його:

\[ 85 = \frac{n}{2}[2a + 3n - 3] \]

\[ 85 = n(a + \frac{3n}{2} - \frac{3}{2}) \]

Поділимо обидва боки на \(n\):

\[ 85 = a + \frac{3n^2}{2} - \frac{3n}{2} \]

Тепер можемо підставити значення \(a + 3n\) з першого рівняння:

\[ 85 = 26 + \frac{3n^2}{2} - \frac{3n}{2} \]

Приберемо 26 з обох боків:

\[ 59 = \frac{3n^2}{2} - \frac{3n}{2} \]

Множимо обидва боки на 2 для позбавлення від знаменника:

\[ 118 = 3n^2 - 3n \]

\[ 3n^2 - 3n - 118 = 0 \]

Це квадратне рівняння можна розв'язати за допомогою дискримінанту:

\[ D = b^2 - 4ac \]

де \(a = 3\), \(b = -3\), \(c = -118\).

\[ D = (-3)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-118) \]

\[ D = 9 + 1416 \]

\[ D = 1425 \]

Тепер використаємо формулу для розв'язку квадратного рівняння:

\[ n = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \]

\[ n = \frac{3 \pm \sqrt{1425}}{6} \]

Отримаємо два значення для \(n\). Оберемо те, яке має сенс у контексті задачі (оскільки \(n\) - це номер члена, він має бути додатнім):

\[ n = \frac{3 + \sqrt{1425}}{6} \approx 9 \]

Тепер можемо підставити \(n\) у перше рівняння для знаходження \(a\):

\[ 26 = a + 3 \cdot 9 \]

\[ 26 = a + 27 \]

\[ a = -1 \]

Отже, перший член прогресії \(a\) дорівнює -1, і номер члена \(n\) дорівнює 9.