Question

5.118. Решите уравнение: 1)6(x+1)²+2(x-1)(x²+x+1)-2(x+1)³=32; 2)5x(x-3)2−5(x−1)3+15(x+2)(x-2)=5; 3)(x+2)³-x(3x+1)²+(2x+1)(4x²-2x+1)=42.​

Answer 1

Ответ:

Раскроем скобки и упростим выражение: 6(x² + 2x + 1) + 2(x³ + x² + x - x² - 1 + x - 1) - 2(x³ + 3x² + 3x + 1) = 32 6x² + 12x + 6 + 2x² + 2x - 2 - 2x³ - 6x² - 6x - 2 + 32 = 0 -2x³ + 4x + 32 = 0 x³ - 2x - 16 = 0 (x - 2)(x² + 2x + 8) = 0

Так как квадратное уравнение x² + 2x + 8 имеет отрицательный дискриминант, то единственным решением уравнения является x = 2.

Раскроем скобки и упростим выражение: 5x⁵ - 45x⁴ + 135x³ - 155x² + 75x - 5 + 15x² - 30x - 30x + 60 = 5 5x⁵ - 45x⁴ + 135x³ - 140x² + 15x + 55 = 0 x⁵ - 9x⁴ + 27x³ - 28x² + 3x + 11 = 0

Подставим в уравнение x = 1, чтобы найти один корень: 1 - 9 + 27 - 28 + 3 + 11 = 5 Таким образом, (x - 1) является одним из множителей. Разделим уравнение на (x - 1): x⁴ - 8x³ + 19x² - 9x - 11 = 0

Подставим в уравнение x = 2, чтобы найти ещё один корень: 16 - 64 + 76 - 18 - 11 = -1 Таким образом, (x - 2) является ещё одним множителем. Разделим уравнение на (x - 2): x³ - 6x² + 7x + 5 = 0 Решим кубическое уравнение, например, методом подбора целых корней: x = -1 является корнем. Делением на (x + 1) получаем квадратное уравнение: x² - 7x - 5 = 0 x = (7 ± √69) / 2

Таким образом, решениями уравнения являются x = 1, x = 2, x = (7 + √69) / 2 и x = (7 - √69) / 2.

Объяснение:

Answer 2

Конечно! Решим уравнения по порядку.

1) Уравнение: 6(x+1)² + 2(x-1)(x²+x+1) - 2(x+1)³ = 32.

Давайте раскроем скобки и соберем все слагаемые:

6(x² + 2x + 1) + 2(x³ + x² + x - x² - x - 1) - 2(x³ + 3x² + 3x + 1) = 32.

Упростим уравнение:

6x² + 12x + 6 + 2x³ + 2x² + 2x - 2x³ - 2x² - 2x - 2 - 2x³ - 6x² - 6x - 2 = 32.

Сгруппируем слагаемые:

(6x² - 6x² - 6x²) + (12x + 2x + 2x - 6x - 6x) + (6 - 2 - 2) + (2 - 32) = 0.

Упростим:

-14x² - 8x - 24 = 0.

Теперь решим это квадратное уравнение:

Мы можем воспользоваться формулой дискриминанта: D = b² - 4ac.

Для этого уравнения a = -14, b = -8 и c = -24.

D = (-8)² - 4(-14)(-24) = 64 - 1344 = -1280.

Поскольку дискриминант D отрицательный, у нас нет реальных корней, а только комплексные корни.

2) Уравнение: 5x(x-3)² - 5(x-1)³ + 15(x+2)(x-2) = 5.

Раскроем скобки и соберем все слагаемые:

5x(x² - 6x + 9) - 5(x³ - 3x² + 3x - 1) + 15(x² - 4) = 5.

Упростим уравнение:

5x³ - 30x² + 45x - 5x³ + 15x² - 15x + 15x² - 60 = 5.

Сгруппируем слагаемые:

(5x³ - 5x³) + (-30x² + 15x² + 15x²) + (45x - 15x) + (-60 - 5) = 0.

Упростим:

15x² + 30x - 65 = 0.

Мы можем поделить все слагаемые на 5, чтобы упростить уравнение:

3x² + 6x - 13 = 0.

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение:

D = b² - 4ac.

Для этого уравнения a = 3, b = 6 и c = -13.

D = 6² - 4(3)(-13) = 36 + 156 = 192.

Так как дискриминант D положительный, у нас есть два реальных корня.

3) Уравнение: (x+2)³ - x(3x+1)² + (2x+1)(4x²-2x+1) = 42.

Раскроем скобки и соберем все слагаемые:

x³ + 6x² + 12x + 8 - x(9x² + 6x + 1) + (8x³ - 4x² + 2x + 4x² - 2x + 1) = 42.

Упростим уравнение:

x³ + 6x² + 12x + 8 - 9x³ - 6x² - x + 8x³ - 4x² + 2x + 4x² - 2x + 1 = 42.

Сгруппируем слагаемые:

(x³ - 9x³ + 8x³) + (6x² - 6x² + 4x²) + (12x - x + 2x - 2x) + (8 + 1 - 42) = 0.

Упростим:

4x³ + 6x² + 12x - 33 = 0.

Это кубическое уравнение, и его решение может быть сложным. Если вам нужно точное решение, вы можете воспользоваться кубической формулой или численными методами, такими как метод Ньютона. Если вам нужно только приближенное решение, вы можете использовать графический метод или программу для численного решения кубического уравнения.

Резюме:

1) Уравнение 6(x+1)² + 2(x-1)(x²+x+1) - 2(x+1)³ = 32 не имеет реальных корней, только комплексные корни. 2) Уравнение 15x² + 30x - 65 = 0 имеет два реальных корня. 3) Уравнение 4x³ + 6x² + 12x - 33 = 0 является кубическим уравнением и его решение может быть сложным.