Question

Відомі перший і третій члени ГП 45 і 5, за допомогою властивостей ГП знайти третій член прогресії. Визначити потім знаменник прогресії та записати перші чотири члени ГП.

Answer 1

Знаючи, що перший член ГП - це a1, а третій член - a3, і використовуючи властивість ГП, що кожен член є добутком попереднього та знаменника, ми можемо записати:
a3 = a1 * r^2
Для того, щоб знайти знаменник прогресії r, ми можемо використати третій та п'ятий члени:
a5 = a1 * r^4
Ми можемо використати властивість ГП ще раз, щоб виразити r:
r = sqrt(a5/a3)
Тепер ми можемо знайти третій член, замінивши відомі значення:
a3 = a1 * r^2
a3 = a1 * (sqrt(a5/a3))^2
a3 = a1 * (a5/a3)
a3^2 = a1 * a5
a1 = a3^2 / a5
Таким чином, ми отримали вираз для першого члена ГП, і можемо записати перші чотири члени:
a1 = a3^2 / a5
a2 = a1 * r
a3
a4 = a3 * r
Тепер, якщо відомі перший і третій члени ГП 45 і 5, ми можемо знайти знаменник прогресії та записати перші чотири члени:
a1 = 45^2 / 5 = 405
r = sqrt(5/405) ≈ 0.334
a2 = 405 * 0.334 ≈ 135.27
a3 = 5
a4 = 5 * 0.334 ≈ 1.67
Отже, перші чотири члени ГП: 405, 135.27, 5, 1.67.

Answer 2

Arithmetic Progression (Арифметична прогресія)

Арифметична прогресія (АП) - це послідовність чисел, в якій кожне наступне число отримується шляхом додавання одного і того ж числа до попереднього числа. Це число, яке додається до кожного члена прогресії, називається знаменником прогресії.

Знайти третій член прогресії

У даному випадку, ми знаємо перший і третій члени арифметичної прогресії. Давайте позначимо перший член як a, другий член як b, і третій член як c.

За властивостями арифметичної прогресії, ми знаємо, що різниця між будь-якими двома сусідніми членами є постійною. Тому, ми можемо скористатися цим фактом для знаходження третього члена прогресії.

За властивостями ГП, ми можемо записати наступну формулу:

c = a + (n-1)d

де c - третій член прогресії, a - перший член прогресії, n - номер члена прогресії, d - знаменник прогресії.

В нашому випадку, ми знаємо, що перший член прогресії (a) дорівнює 45 і третій член прогресії (c) дорівнює 5. Ми хочемо знайти знаменник прогресії (d) і третій член прогресії (c).

Застосуємо формулу:

5 = 45 + (3-1)d

Розв'яжемо це рівняння для знаменника прогресії (d):

5 = 45 + 2d

2d = 5 - 45

2d = -40

d = -20

Таким чином, знаменник прогресії (d) дорівнює -20.

Записати перші чотири члени прогресії

Тепер, коли ми знаємо знаменник прогресії (d), ми можемо використати його для знаходження інших членів прогресії.

Перший член прогресії (a) дорівнює 45.

Другий член прогресії (b) можна знайти, додавши знаменник прогресії (d) до першого члена прогресії (a):

b = a + d

b = 45 + (-20)

b = 25

Третій член прогресії (c) вже відомий і дорівнює 5.

Четвертий член прогресії (d) можна знайти, додавши знаменник прогресії (d) до третього члена прогресії (c):

d = c + d

**