Question

Скільки існує натуральних чисел, менших за 1000, які не дiляться ні на 3, ні на 5, ні на 7, нi на 11?​

Answer 1

Щоб знайти кількість чисел, які не діляться на жоден з факторів 3, 5, 7 і 11, ми можемо спочатку знайти кількість чисел, які діляться на хоча б один з цих факторів. Потім ми можемо відняти цю кількість від загальної кількості чисел від 1 до 999.

Кількість чисел, які діляться на 3, дорівнює 333, оскільки 999 / 3 = 333.

Кількість чисел, які діляться на 5, дорівнює 199, оскільки 999 / 5 = 199.

Кількість чисел, які діляться на 7, дорівнює 142, оскільки 999 / 7 = 142.

Кількість чисел, які діляться на 11, дорівнює 90, оскільки 999 / 11 = 90.

Кількість чисел, які діляться на хоча б один з цих факторів, дорівнює 333 + 199 + 142 + 90 = 764.

Тому кількість чисел, які не діляться ні на 3, ні на 5, ні на 7, ні на 11, дорівнює 999 - 764 = 235.

Answer 2

Для розв'язання цієї задачі, ми повинні знайти кількість натуральних чисел, менших за 1000, які не діляться ні на 3, ні на 5, ні на 7, ні на 11.

Знаходження кількості чисел, які діляться на 3:

За правилом ділення на 3, кожне третє натуральне число ділиться на 3. Тобто, кількість чисел, які діляться на 3, менших за 1000, дорівнює кількості чисел в арифметичній прогресії з першим членом 3 та різницею 3. Ми можемо використати формулу для знаходження кількості членів арифметичної прогресії:

Кількість чисел, які діляться на 3 = (останній член - перший член) / різниця + 1

Останній член арифметичної прогресії, який менший за 1000 і ділиться на 3, дорівнює 999. Застосовуючи формулу, отримуємо:

Кількість чисел, які діляться на 3 = (999 - 3) / 3 + 1 = 333

Знаходження кількості чисел, які діляться на 5:

Аналогічно, кількість чисел, які діляться на 5, менших за 1000, можна знайти, використовуючи формулу для арифметичної прогресії з першим членом 5 та різницею 5:

Кількість чисел, які діляться на 5 = (останній член - перший член) / різниця + 1

Останній член арифметичної прогресії, який менший за 1000 і ділиться на 5, дорівнює 995. Застосовуючи формулу, отримуємо:

Кількість чисел, які діляться на 5 = (995 - 5) / 5 + 1 = 199

Знаходження кількості чисел, які діляться на 7:

Аналогічно, кількість чисел, які діляться на 7, менших за 1000, можна знайти, використовуючи формулу для арифметичної прогресії з першим членом 7 та різницею 7:

Кількість чисел, які діляться на 7 = (останній член - перший член) / різниця + 1

Останній член арифметичної прогресії, який менший за 1000 і ділиться на 7, дорівнює 994. Застосовуючи формулу, отримуємо:

Кількість чисел, які діляться на 7 = (994 - 7) / 7 + 1 = 142

Знаходження кількості чисел, які діляться на 11:

Аналогічно, кількість чисел, які діляться на 11, менших за 1000, можна знайти, використовуючи формулу для арифметичної прогресії з першим членом 11 та різницею 11:

Кількість чисел, які діляться на 11 = (останній член - перший член) / різниця + 1

Останній член арифметичної прогресії, який менший за 1000 і ділиться на 11, дорівнює 990. Застосовуючи формулу, отримуємо:

Кількість чисел, які діляться на 11 = (990 - 11) / 11 + 1 = 90

Знаходження кількості чисел, які не діляться ні на 3, ні на 5, ні на 7, ні на 11:

Тепер, щоб знайти кількість чисел, які не діляться ні на 3, ні на 5, ні на 7, ні на 11, ми повинні відняти кількість чисел, які діляться на 3, 5, 7 та 11 від загальної кількості чисел менших за 1000.

Загальна кількість чисел менших за 1000 дорівнює 999 (так як 1000 не входить у розгляд).

Кількість чисел, які не діляться ні на 3, ні на 5, ні на 7, ні на 11 = 999 - (кількість чисел, які діляться на 3) - (кількість чисел, які діляться на 5) - (кількість чисел, які діляться на 7) - (кількість чисел, які діляться на 11)

Підставляючи значення, отримуємо:

Кількість чисел, які не діляться ні на 3, ні на 5, ні на 7, ні на 11 = 999 - 333 - 199 - 142 - 90 = 235

Таким чином, кількість натуральних чисел, менших за 1000, які не діляться ні на 3, ні на 5, ні на 7, ні на 11, дорівнює 235.