Question

Представьте дробь 1,(15) в виде неправильной обыкновенной дроби. Запишите числитель и знаменатель полученной дроби.

Answer 1

Почнемо з позначення x = 1,(15):

x = 1 + 0,(15)

x = 1 + 15/100 + 5/1000 + 5/10000 + ...

x = 1 + 15/100 + 5/1000 + 5/10000 + ...

x = 1 + 15/(1010) + 5/(101010) + 5/(10101010) + ...

Тепер складемо n + 1 частину x:

10^n * x = 10^n + 1510^(n-2) + 510^(n-3) + ... + 5

Віднімаємо x від 10^n * x:

(10^n - 1) * x = 10^n - 1510^(n-2) - 510^(n-3) - ... - 5

x = (10^n - 1)^(-1) * (10^n - 1510^(n-2) - 510^(n-3) - ... - 5)

Залишається обчислити границю цієї дробу при n -> нескінченності.

Якщо n стає дуже великим, то 15 * 10^(n-2), 5 * 10^(n-3), 5 * 10^(n-4), ... стають дуже малими порівняно з 10^n. Тому для великих n ми можемо ігнорувати ці члени. Отримаємо:

x = lim(n->∞) ((10^n - 1)^(-1) * (10^n - 1510^(n-2) - 510^(n-3) - ... - 5))

x = lim(n->∞) ((10^n - 1)^(-1) * 10^n)

x = lim(n->∞) (1 - 10^(-n))^-1

x = 1.16...

Тепер запишемо дріб у вигляді чисельника та знаменника:

x = 1 + 16/100 + 6/1000 + ...

Тому чисельник - 116, а знаменник - 100. Отже,

1,(15) = 116/100

Answer 2

Дробь 1,(15) является смешанной периодической десятичной дробью, то есть в ней есть и непериодическая, и периодическая часть. Чтобы преобразовать ее в обыкновенную дробь, нужно выполнить следующие шаги:

1. Отбросить целую часть и запомнить ее. В нашем случае целая часть равна 1. 2. Вычесть из дробной части непериодическую часть и записать разность в виде числителя. В нашем случае дробная часть равна 0,(15), а непериодическая часть равна 0. Поэтому разность равна 0,(15) - 0 = 0,(15). 3. Записать в знаменателе столько девяток, сколько цифр в периоде, и столько нулей, сколько цифр в непериодической части. В нашем случае период состоит из двух цифр 15, а непериодическая часть из нуля цифр. Поэтому знаменатель равен 99. 4. Сократить дробь, если это возможно. В нашем случае дробь 0,(15)/99 можно сократить на 3, получив 5/33. 5. Прибавить к дроби целую часть, умноженную на знаменатель. В нашем случае получим 1 + 5/33 = 1 * 33/33 + 5/33 = 38/33.

Итак, мы получили, что дробь 1,(15) в виде неправильной обыкновенной дроби равна 38/33. Числитель равен 38, а знаменатель равен 33. Для более подробного объяснения вы можете посмотреть [этот сайт](https://skysmart.ru/articles/mathematic/kak-perevesti-periodicheskuyu-drob) или [этот сайт](https://myalfaschool.ru/articles/kak-perevesti-periodicheskuyu-drob-v-obyknovennuyu).